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2024-2025学年上海市行知中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的导数 ．
6.已知为虚数单位，复数满足，则 ．
7.若，则 ．
8.已知全集，则 ．
9.已知向量，，则在上的投影数量是 ．
10.若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
11.已知向量，点，向量与方向相同，且，则点的坐标为 ．
12.若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ．
13.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
14.在中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ．
15.设且，满足，则的取值范围为 ．
16.若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知复数是虚数单位．
若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角．
19.本小题分
设三个内角所对的边分别为已知，且．
求角的大小；
如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得过点分别作直线的垂线，垂足分别是设，求的最大值及此时的取值．
20.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数；
证明：在区间上有且只有一个零点；
记函数的零点为，证明：．
21.本小题分
对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”．
设且，若是的“向量”，求实数的取值范围；
若且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
已知均是的“向量”，其中设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.的定义域为，
，
因为是偶函数，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则恒成立，因此；
若，则
所以，所以，
令，则有，即，
解得或，所以，或，
所以，或．
18.由题意，，
第一象限需满足：，解得．
当时，点，，
设的夹角为，则，
且．
19.由，可得
即，即得，故得，
因，故得．
由题设，在中，；
在中，
，，
所以，
因为，所以，从而有，
故得
于是，当，即时，取得最大值．
20.依题意，得，
所以，
所以或，
当时，，则，
又，所以，
当，则，
又，
所以，所以，
所以方程在上的解集为．
，
当时，则，
此时在上单调递增，
在上也单调递增，所以在上单调递增，
，
所以在区间上有且只有一个零点；
记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，，
故，所以，
又，则，
所以，
则．
21.由题意可得：，即，
因为，则，
可得，
则，解得或，
所以实数的取值范围．
存在“向量”，且“向量”为、，理由如下：
由题意可得，
若存在“向量”，则，
因为，
可得
，
即，即，
当或时，符合要求，故存在“向量”，且“向量”为、．
由题意，得，，即，
即，同理，，
三式相加并化简，得，
即，，所以，
设，由得
设，因为与关于点对称，与且关于点对称，
则依题意得：
将代入得，，
从而，
，
，
以上个式子相加化简得，
，
又由知，
，
即，
所以，
其中，
，
当且仅当时等号成立，故．

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