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2024-2025学年贵州省黔东南苗族侗族自治州高一下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 正四棱柱是正方体 B. 圆锥的截面是圆
C. 一个棱柱至少有个面 D. 正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
3.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是函数的零点，则( )
A. B. C. D.
7.若是的边上的一点不包含端点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是( )
A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数是关于的方程的两根，则( )
A. B. C. D.
10.在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.比较大小： 填“”或“”．
13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度 米
14.已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
若是纯虚数，求的值；
若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围．
16.本小题分
如图，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为厘米，下底面棱长为厘米，侧棱长为厘米，下部分正四棱柱的高为厘米．
求该灯柱的侧面积；
求该灯柱的体积．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，是的中点，．
用向量，表示向量，；
若，，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
求在上的值域；
若是锐角，且，求的值．
19.本小题分
如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地．

已知．
求道路的长度；
求的面积．
某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为万元每平方千米，修建道路的利润为万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：由题意可得．
因为是纯虚数，
所以，解得；
由题意可得
解得，即的取值范围为．
16.解：由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米，
则该正四棱台的侧面积平方厘米，
灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米，
故该灯柱的侧面积平方厘米．
由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米，
则该正四棱台的体积立方厘米．
灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米．
故该灯柱的体积立方厘米．
17.解：因为是的中点，所以，
则．
因为，，所以，
则．
因为，所以，
则．
由可知，则，
故．
因为，，所以，
则．
18.解：由题意可得
．
令，，
解得，，
则的单调递减区间是．
因为，所以．
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
故在上的值域为．
因为，所以，所以．
因为是锐角，所以．
因为，所以，所以，
则．
19.解：由正弦定理可得，
则千米．
因为，，所以，
所以
则的面积平方千米．
设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米．
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元．
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元．

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