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2024-2025 学年福建省泉州市晋江市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个圆锥的底面半径为 1，母线长为 4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. π π 2π 5π3 B. 2 C. 3 D. 6
2.已知复数 = 2+ ， 为 的共轭复数，则 =( )
A. 5 5 5 13 B. 9 C. 5 D. 5
3.如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2，则四
边形 的周长为( )
A. 8 + 2 3 + 6 B. 8 + 2 2 C. 6 + 2 2 + 2 3 D. 6 + 6 + 2
4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑 中，满足
⊥平面 ，且 = = 5， = 3， = 4，则此鳖臑外接球的表面积为( )
A. 25π B. 50π C. 100π D. 200π
5.已知 sin( 6 ) =
1
5，则 sin(2 +

6 ) =( )
A. 23 23 7 725 B. 25 C. 25 D. 25
6.如图 1 的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图 2 的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，
= 6， 1 1 = 2，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒 28ml，则该方斗
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杯可盛该种酒的总容积为( )
A. 74ml B. 76ml C. 104ml D. 112ml
7.已知 ， 是球 的球面上两点，且∠ = 120°， 是该球面上的动点， 是该球面与平面 交线上的
动点，若四面体 体积的最大值为 2 3，则球 的体积为( )
A. 8π3 B.
8 2π
3 C.
4 3π D. 32π3 3
→ →
8 1.已知平面向量 , ，且 | = | = 2, = 2，向量 满足 = 2
，则 ∈ R 的最小
值为( )
A. 2 1 B. 3 1 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 4，点 为线段 1上的一动点，则( )
A. 1所在的直线与 1所在的直线为异面直线
B. 平行于平面 1 1 1内的任意一条直线
C. + 1的最小值为 4 2
D.三棱锥 1 1的体积为定值
10.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , , 为 内一点，则下列命题正确的是( )
A.若 + 2 + 3 = 0，则 的面积与 的面积之比是 2: 3
B.若 = 3 2, = 4, = π4，则满足条件的三角形有两个

C. =

若
，则 为等腰三角形

D.若点 是 的重心，且 2 + + 2 3 3 = 0，则 为直角三角形
11.设复数 1, 2, 3，且 1 2 ≠ 0，其中 1为确定的复数，下列说法正确的是( )．
A.若 1 2 = 21 ，则 1 + 2是实数
B.若 21 2 = 1 ，则存在唯一实数对( , )使得 3 = 1 + 2
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C.若 1 3 + 3 1 = 0，则 3在复平面内对应的点的轨迹是射线
D. + < 1 2 若 2 3 ，则 31 2
< 1
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 , 的夹角为 120°，且 = 1, = 4，则 = ．
13.如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点．从 点测得 点的仰角∠ = 45°，
点的仰角∠ = 30°以及∠ = 75°；从 点测得∠ = 60°，已知山高 = 60m，则山高
= m．
14 π π.将函数 ( ) = sin + 3 ( > 0)的图象向右平移3个单位长度后得到函数 = ( )的图象，若函数 =
( )和 = ( )在 0, π 上都恰好存在两个零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点，设 = ， = ．
(1)若 = + ，其中 、 ∈ ，求 + 的值；
(2)若 = 2， = 4， 与 的夹角为 60°，求 在 上的投影向量(用 和 表示)．
16.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , 且 cos2 3cos sin = sin .
(1)求角 的大小；
(2)若点 在边 上， 平分∠ ， = 2， = 7，求线段 长．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2, 为 的中点.在△ 中，内角 、 、 的对边
3( 2 2 2)
分别为 、 、 ，若△ 的面积为 4 3 ．
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(1)求∠ ；
(2)求证： 1//平面 1 ；
(3)求三棱锥 1 1 的体积．
18.(本小题 17 分)

已知平面向量 、 满足 = cos + sin , 2cos ， = 3cos 3sin , sin ， ∈ R, ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期及单调递减区间；
(2)在平面四边形 中 = = 1，如图所示：
①若锐角 满足 ( ) = 3， = 2 ，求线段 长度的最大值；
②若 = 2， = 3，求四边形 面积 的最大值．
19.(本小题 17 分)
对于数集 = 1, 1, 2, ，其中 0 < 1 < 2 < < ， ≥ 2，定义向量集 = = ( , ), ∈ , ∈
，若对任意 1 ∈ ，存在 2 ∈ 使得 1 2 = 0，则称 具有性质 ．
(1)判断 1,1,2 是否具有性质 ；
(2)若 > 2，且 = 1,1,2, 具有性质 ，求 的值；
(3)若 具有性质 ，求证：1 ∈ 且当 > 1 时， 1 = 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.60 3
14. 5 53 , 2
15.解：(1)在平行四边形 中， = + ， = + ，
因为 和 分别是边 和 的中点， = ， = ，
1
所以 = + 2
， = + 1 2 ，
所以 + = 12 +
+ + 1 = 3 2 2 + ，
又∵ = + ∴ = 2， + ，又∵ = + 3 ，
∴ = = 23，∴ + =
4
3．
(2)记投影向量为 ，
2

1
+ +
1 11
2+5 +1 1
则 = = 2 2 + = 2 4 2 +

2 2 2
+1 2 2+1 2 4 +
2
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因为若 = 2， = 4， 与 的夹角为 60°，所以 = 4，
所以 = 2+5+8 1 5 1 4+4+4 + 2 = 4 + 2 ．
5 5
所以投影向量为 4 + 8
16.解：(1)因为 cos2 3cos sin = sin ,
由正弦定理得 cos2 3cos = .两边除以 ,
得 cos2 3cos = 1,
整理为 2cos2 3cos 2 = 0,即 cos 2 2cos + 1 = 0，
解得 cos = 12或 cos = 2(舍去)，
又因为 0 < < ,可得 = 2π3 ;
(2)在△ 中，根据余弦定理，
有 2 = 2 + 2 2 cos 2π3 =
2 + 2 + ，即 7 = 4 + 2 + 2 ，
解得 = 1，或 = 3(舍去)，
因为 平分∠ π，所以∠ = ∠ = 3，
设∠ = ,则∠ = π
1 在 中，由正弦定理得sin = sinπ，即 = 3 sin sin3
在 2 中，由正弦定理得sin π = sinπ，即3 sin
= sinπ，3

所以 = = 2
又因为 = + = 7 7，所以 = 3 ,
2 2 2
在 中，cos = + = 2 72 7 ,
在 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 49 ,
2
所以 = 3 .
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17. (1) = 1 sin = 3
2 2 2
解： 2 + 2 2 = 3 + 3 2 4 4 2 2 = 2 cos ．
所以 tan = 3．
2π
又由 ∈ 0, π ，可得 = 3，所以∠ =
2π
3．
(2)连接 1，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
在直三棱柱 1 1 1中，四边形 1 1 为平行四边形，则 为 1的中点，
又因为 为 的中点，则 // 1，因为 1 平面 1 , 平面 1 ，
因此 1//平面 1 ．
(3)因为 1//平面 1 ，则点 到平面 1 的距离等于点 1到平面 1 的距离，
所以 1 1 1 = 1 = 1 = 3 1．
在 中， = = 2, 为 的中点，∠ = 120 ，
1 1 1 3 3
所以 = 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ．
1 1 3 3
因此 1 1 = 3 1 = 3 × 2 × 2 = 3 ．
18.解：(1) ( ) = = 3 cos sin cos + sin 2sin cos
= 3 cos2 sin2 2sin cos = 3cos2 sin2
= 2cos 2 + π6 ．
( ) 2π的最小正周期为： = |2| = π；
当 2 π ≤ 2 + π6 ≤ 2 π + π ∈ Z 时，
π 5π
即当 π 12 ≤ ≤ π + 12 ∈ Z 时，函数 ( )单调递减，
所以函数 ( )单调递减区间为： π π12 , π +
5π
12 ∈ Z ；
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(2)①设 = , = 2 ，
在 π中，根据余弦定理可知， = 2 + 2 2 cos 3 = 3 ，
满足 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
设∠ = = ， ∈ 0, π2 ，
在 和 中，
2 = 4 2 + 1 2 2 1 cos π 26 + = + 1 2 1 cos
π
2 + ，
得 = 2 33 cos ，
2 = 2 + 1 2 cos π则 2 +
4 2 2 3= 3 cos + 1 2 × 3 cos sin
4 1+ cos2 2 3 2 3 2 5
= 3 × 2 + 1 + 3 sin2 = 3 sin2 + 3 cos2 + 3
= 43 sin 2 +
π 5 π
6 + 3， ∈ 0, 2 ，
2 + π ∈ π , 7π6 6 6 ，当 2 +
π π π
6 = 2，即 = 6时，函数取得最大值 3．
所以 的最大值为 3；
1
②在 中， = 2 × 2 × 3 × sin = 3sin ，
1 1中， 2 = 2 × 1 × sin = 2 sin ，
1
两式相加得 = 3sin + 2 sin ，则 2 = 6sin + sin ，
两边平方后得 4 2 2 2 = 36sin + sin + 12sin sin ，①
根据余弦定理可知， 2 = 22 + 32 2 × 2 × 3 × cos = 12 + 12 2 × 1 × 1 × cos ，
即 13 12cos = 2 2cos ，得 12cos 2cos = 11，
两边平方后，144cos2 + 4cos2 48cos cos = 121，②
式两边乘以 4 后得，16 2 = 144sin2 + 4sin2 + 48sin sin ③，
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16 2 + 121 = 144 + 4 48cos( + )，
即 16 2 = 27 48cos( + )，
当 + = π时，16 2 的最大值为 75，
所以四边形 5 3的面积取得最大值为 4 ．
19.解：(1) 1,1,2 具有性质 ．
因为 = 1,1,2 ，
所以 = ( 1, 1), ( 1,1), ( 1,2), (1, 1), (1,1), (1,2), (2, 1), (2,1), (2,2) ，
若对任意 1 ∈ ，存在 2 ∈ 使得 1 2 = 0，
所以 具有性质 ．
(2)因为 > 2，且 = 1,1,2, 具有性质 ，
所以可取 1 = ( , 2)，
又 中与 1 = ( , 2)垂直的元素必有形式( 1,1), ( 1,2), ( 1, )中的一个，
当 2 = ( 1,1)时，由 1 2 = 0，可得 + 2 = 0 = 2，不符合题意；
当 2 = ( 1,2)时，由 1 2 = 0，可得 + 4 = 0 = 4，符合题意；
当 2 = ( 1, )时，由 1 2 = 0，可得 + 2 = 0 = 0，不符合题意；
所以 = 4．
(3)证明：取 1 = 1, 1 ∈ ，设 2 = ( , ) ∈ ，满足 1 2 = 0，
所以( + ) 1 = 0 + = 0，所以 , 异号，
因为 1 是 中的唯一的负数，
所以 , 中之一为 1，另一个为 1，
所以 1 ∈ ，
假设 = 1，其中 1 < < ，则 0 < 1 < 1 < ，
选取 1 = 1, ，并设 2 = ( , )，满足 1 2 = 0，
所以 1 + = 0，则 , 异号，从而 , 之中恰有一个为 1，
若 = 1，则 1 = ，显然矛盾；
若 = 1，则 = 1 < < ，矛盾，
所以当 > 1 时， 1 = 1，
综上，得证．
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