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2024-2025 学年海南省东方市八所中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 1,5), = (2, ),若 ⊥ ,则 的值为( )
A. 2 25 B. 5 C. 10 D. 10
2.若 sin = 13,则 cos2 =
A. 89 B.
7
9 C.
7
9 D.
8
9
3.若线段上 、 、 三点满足 = 2 ,则这三点在线段上的位置关系是( )
A. B.
C. D.
4.已知 1, 2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是( )
A. = 0, = 1 2 B. = 3 1 3 2, = 1 2
C. = 1 2 2, = 1 + 2 2 D. = 1 2 2, = 2 1 4 2
5.已知 中, , , 分别是角 , , 的对边,且满足 cos = + cos ,则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.已知 , ∈ , + 3i = ( + i)i(i 为虚数单位),则( )
A. = 1, = 3 B. = 1, = 3 C. = 1, = 3 D. = 1, = 3
7.如果用 , 分别表示 轴和 轴正方向上的单位向量,且 (2,3), (3, ),若 = 2 ,则 =( )
A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
8.在平行四边形 中, 是对角线 上靠近点 的三等分点,点 在 上,若 = + 13
,则 =( )
A. 23 B.
4 5 6
5 C. 6 D. 7
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二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 i,i 为虚数单位,其共轭复数为 ,则下列说法正确的是( )
A. | | = 2 B. 的虚部为 i
C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. = 2i
10.已知点 (0,0), (2,1), (2,0),则下列结论正确的是( )
A. 是直角三角形
B.若点 (4,1),则四边形 是平行四边形
C.若 = + ,则 (4,2)
D.若 = 2 ,则 (4,2)
11.函数 ( ) = cos( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. = B. = 3
C. = 3 14是函数的一条对称轴 D. ( + 4 , 0)( ∈ )是函数的对称中心
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12 = 1 2i.若复数 满足 2 i (i 为虚数单位),则复数 的虚部为 .
13.已知 tan = 2,则 tan + π4 = .
14.记 π的内角 , , 的对边分别为 , , ,若 = 4, = 6, = 3,则 外接圆的面积为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (3,2), = (1, 1).
(1)求 + 与 2 3 的坐标;
(2)求向量 , 的夹角的余弦值.
16.(本小题 15 分)
4 3
在 中, = 14, = 16,sin = 7 .
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(1)求∠ ;
(2)求 边上的高.
17.(本小题 15 分)
已知向量 = (3,4), = (1,2), = ( 2, 2).
(1)求| |,| |的值;
(2)若 = + ,求实数 , 的值;
(3)若( + ) // ( + ),求实数 的值.
18.(本小题 17 分)
海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶(如图),在 处测得北侧一岛屿的顶端 的底部 在西偏北 30°的方
向上,行驶 4 千米到达 处后,测得该岛屿的顶端 的底部 在西偏北 75°方向上,山顶 的仰角为 30°,求
此岛屿露出海平面的部分 的高度.
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin cos + cos2 12.
(1)求 ( )的单调递增区间;
(2)设 , , 分别为 1内角 , , 的对边,已知 ( ) = 2,2 = + ,且
= 9,求 的周
长.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 35/ 0.6
13. 3
14.28π/28π3 3
15.(1) + = (4,1),2 3 = 2(3,2) 3(1, 1) = (3,7).
(2) = 3 2 = 1, = 9+ 4 = 13, = 1+ 1 = 2,
∴ cos < , > = = 1 = 26.
| | 13 2 26
16.(1) sin 14 4 3 3由正弦定理得sin = sin , sin = = 16 × 7 = 2 ,
π
由于 < ,所以 是锐角,所以 = 3
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ,
142 = 2 + 162 2 16 cos π3,
2 16 + 60 = 0, ( 6)( 10) = 0,
解得 = 6 或 = 10,
设 边上的高为 ,
1
则2 =
1
2 sin , =
sin
,
6×14×4 37 10×14×
4 3
所以 = 16 = 3 3,或 =
7
16 = 5 3.
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17.(1) ∵向量 = (3,4), = (1,2),
∴ | | = 5,| | = 5;
(2) ∵ = (3,4), = (1,2), = ( 2, 2), = + ,
∴ (3,4) = (1,2) + ( 2, 2) = ( 2 ,2 2 ),
2 = 3
所以 2 2 = 4 ,
= 1
得 = 1;
(3) ∵ ( + ) // ( + ),
又 + = ( 1 2 , 2 2 ), + = (4,6),
∴ 6 ( 1 2 ) = 4 ( 2 2 ),
解得 = 12,
故实数 1的值为2.
18.已知舰队从 处行驶到 处,在 处测得 在西偏北30°方向上,
在 处测得 在西偏北75°方向上,所以∠ = 30°,∠ = 180° 75° = 105°.
根据三角形内角和为180°,可得∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 30° 105° = 45°.
在 中,已知 = 4 千米,∠ = 30°,∠ = 45°,
1
sin 4×sin30° 4×
由正弦定理 2sin = sin 可得: = sin = sin45° = 2 = 2 2(千米).
2
在 中,因为测得山顶 的仰角为30°,即∠ = 30°,且 tan∠ = .
所以 = tan∠ = 2 2 × tan30° = 2 2 × 3 2 63 = 3 (千米).
2 6
则岛屿露出海平面的部分 的高度为 3 千米.
19.(1)解: ( ) = 3sin cos + cos2 12 =
3
2 sin2 +
1
2 cos2 = sin 2 +
π
6 ,
2 π π ≤ 2 + π ≤ 2 π + π π π ≤ ≤ π + π令 2 6 2,得 3 6 ( ∈ ),
∴ ( ) π π的单调递增区间为 π 3 , π + 6 ( ∈ );
(2)解:由 ( ) = 1 π 12,得 sin 2 + 6 = 2,
∵ 0 < < ,∴ π < 2 + π < 2π + π6 6 6,
∴ 2 + π = 5π π6 6 ,∴ = 3,
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∵ = 9,∴ cos = 9,∴ = 18,
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 4 2 3 × 18,
∴ = 3 2, + + = 9 2
∴ 的周长为 9 2.
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