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2024-2025 学年海南省东方市八所中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 1,5)， = (2, )，若 ⊥ ，则 的值为( )
A. 2 25 B. 5 C. 10 D. 10
2.若 sin = 13，则 cos2 =
A. 89 B.
7
9 C.
7
9 D.
8
9
3.若线段上 、 、 三点满足 = 2 ，则这三点在线段上的位置关系是( )
A. B.
C. D.
4.已知 1， 2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A. = 0， = 1 2 B. = 3 1 3 2， = 1 2
C. = 1 2 2， = 1 + 2 2 D. = 1 2 2， = 2 1 4 2
5.已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足 cos = + cos ，则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.已知 , ∈ , + 3i = ( + i)i(i 为虚数单位)，则( )
A. = 1, = 3 B. = 1, = 3 C. = 1, = 3 D. = 1, = 3
7.如果用 ， 分别表示 轴和 轴正方向上的单位向量，且 (2,3)， (3, )，若 = 2 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
8.在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 的三等分点，点 在 上，若 = + 13
，则 =( )
A. 23 B.
4 5 6
5 C. 6 D. 7
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 i，i 为虚数单位，其共轭复数为 ，则下列说法正确的是( )
A. | | = 2 B. 的虚部为 i
C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. = 2i
10.已知点 (0,0)， (2,1)， (2,0)，则下列结论正确的是( )
A. 是直角三角形
B.若点 (4,1)，则四边形 是平行四边形
C.若 = + ，则 (4,2)
D.若 = 2 ，则 (4,2)
11.函数 ( ) = cos( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. = B. = 3
C. = 3 14是函数的一条对称轴 D. ( + 4 , 0)( ∈ )是函数的对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 1 2i.若复数 满足 2 i (i 为虚数单位)，则复数 的虚部为 ．
13.已知 tan = 2，则 tan + π4 = ．
14.记 π的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 4， = 6， = 3，则 外接圆的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (3,2)， = (1, 1)．
(1)求 + 与 2 3 的坐标；
(2)求向量 ， 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
4 3
在 中， = 14， = 16，sin = 7 ．
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(1)求∠ ；
(2)求 边上的高．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = (3,4)， = (1,2)， = ( 2, 2)．
(1)求| |，| |的值；
(2)若 = + ，求实数 ， 的值；
(3)若( + ) // ( + )，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶(如图)，在 处测得北侧一岛屿的顶端 的底部 在西偏北 30°的方
向上，行驶 4 千米到达 处后，测得该岛屿的顶端 的底部 在西偏北 75°方向上，山顶 的仰角为 30°，求
此岛屿露出海平面的部分 的高度．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin cos + cos2 12．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)设 ， ， 分别为 1内角 ， ， 的对边，已知 ( ) = 2，2 = + ，且
= 9，求 的周
长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 35/ 0.6
13. 3
14.28π/28π3 3
15.(1) + = (4,1)，2 3 = 2(3,2) 3(1, 1) = (3,7)．
(2) = 3 2 = 1， = 9+ 4 = 13， = 1+ 1 = 2，

∴ cos < ， > = = 1 = 26．
| | 13 2 26
16.(1) sin 14 4 3 3由正弦定理得sin = sin , sin = = 16 × 7 = 2 ，
π
由于 < ，所以 是锐角，所以 = 3
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
142 = 2 + 162 2 16 cos π3，
2 16 + 60 = 0, ( 6)( 10) = 0，
解得 = 6 或 = 10，
设 边上的高为 ，
1
则2 =
1
2 sin , =
sin
，
6×14×4 37 10×14×
4 3
所以 = 16 = 3 3，或 =
7
16 = 5 3．
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17.(1) ∵向量 = (3,4)， = (1,2)，
∴ | | = 5，| | = 5；
(2) ∵ = (3,4)， = (1,2)， = ( 2, 2)， = + ，
∴ (3,4) = (1,2) + ( 2, 2) = ( 2 ，2 2 )，
2 = 3
所以 2 2 = 4 ,
= 1
得 = 1；
(3) ∵ ( + ) // ( + )，
又 + = ( 1 2 ， 2 2 )， + = (4,6)，
∴ 6 ( 1 2 ) = 4 ( 2 2 )，
解得 = 12，
故实数 1的值为2．
18.已知舰队从 处行驶到 处，在 处测得 在西偏北30°方向上，
在 处测得 在西偏北75°方向上，所以∠ = 30°，∠ = 180° 75° = 105°．
根据三角形内角和为180°，可得∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 30° 105° = 45°．
在 中，已知 = 4 千米，∠ = 30°，∠ = 45°，
1
sin 4×sin30° 4×
由正弦定理 2sin = sin 可得： = sin = sin45° = 2 = 2 2(千米)．
2
在 中，因为测得山顶 的仰角为30°，即∠ = 30°，且 tan∠ = ．
所以 = tan∠ = 2 2 × tan30° = 2 2 × 3 2 63 = 3 (千米)．
2 6
则岛屿露出海平面的部分 的高度为 3 千米．
19.(1)解： ( ) = 3sin cos + cos2 12 =
3
2 sin2 +
1
2 cos2 = sin 2 +
π
6 ，
2 π π ≤ 2 + π ≤ 2 π + π π π ≤ ≤ π + π令 2 6 2，得 3 6 ( ∈ )，
∴ ( ) π π的单调递增区间为 π 3 , π + 6 ( ∈ )；
(2)解：由 ( ) = 1 π 12，得 sin 2 + 6 = 2，
∵ 0 < < ，∴ π < 2 + π < 2π + π6 6 6，
∴ 2 + π = 5π π6 6 ，∴ = 3，
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∵ = 9，∴ cos = 9，∴ = 18，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 4 2 3 × 18，
∴ = 3 2， + + = 9 2
∴ 的周长为 9 2．
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