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2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设，则“是第一象限角”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知某扇形的面积为，则该扇形的周长最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知角为的一个内角，且，则( )
A. B. C. D.
7.当时，取得最大值，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
10.计算下列各式值，其结果为的有( )
A. B.
C. D.
11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心
C. ，若恒成立，则的最小值为
D. 已知是函数在上的两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，，求 ．
13.先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为 ．
14.已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量
已知且，求
已知，且，求向量与向量的夹角．
16.本小题分
已知函数．
化简；
若，求的值．
17.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

若点，求的值；
若，求．
18.本小题分
大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．
试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
当时，求加温带的长；
为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的解析式；
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
若函数在上有个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，所以设
又得，解得，
所以或．
由题知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量与向量的夹角为．

16.
．
因为，所以，
，
，
因为，所以，所以，
故，因此．

17.因为是锐角，且在单位圆上，

所以，
所以．
因为，所以，
且，
所以，可得，且，
所以
．

18.在中，由，得，，
又中，由勾股定理得，
因此，
当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，
所以函数关系式为，定义域为．
由知，
因此，
于是．
依题意，要使费用最低，只需最小即可，
由得，
设，则，，
，由，得，
，于是，
令，函数在上为增函数，
则当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．

19.因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以．
因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
令，由知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有个公共点，

由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当时，，解得，
综上，的取值范围为．

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