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2024-2025学年云南“美美与共”民族中学联盟高一下学期联考（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为( )
A. B. C. D.
3.设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.若，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )
A. 点，与向量共线的单位向量为
B. 非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为
C. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且
D. 向量，则在上的投影向量的坐标为
11.如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是( )
A. 点到平面的距离为 B.
C. 直线与直线所成的角的正弦值为 D. 四棱锥的外接球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设与的夹角为，则 ．
13.某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为，则此圆台的体积为 ．
14.对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有个零点，则取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，．
用表示；
若点满足，证明：三点共线．
16.本小题分
若．
求的最小正周期及单调增区间；
若当时，的最小值为，求的值．
17.本小题分
在中，角所对的边分别为，若．
求角；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
在九章算术中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点．
证明：平面；
若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
19.本小题分
如图，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：；
若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】因为，
所以，
所以．
同理，
所以．
由，
可得．
又，
所以，又因为有公共点，
所以三点共线．

16.【详解】，
函数的最小正周期．
令，
解得，
的单调增区间是．
，．
当，即时，函数取得最小值，
．

17.【详解】，
其中，
，
由正弦定理得，
，
．
，
；
，
．
又，
，
．
的周长为．

18.【详解】方法一：
证明：连接，如图，
因为分别是的中点，所以．
又平面平面，
所以平面．
方法二：如图，取的中点为，连接，则．
又平面平面，
所以平面．
同理可证平面，
因为，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
平面与平面垂直．
证明如下：
因为底面底面，所以．
由题意知为直角三角形且，所以．
又平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为为的中点，所以．
又平面，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．

19.【详解】因为的“完美坐标”为．
则．
又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成，
所以，则．
故．
证明：由知，，
所以
．
因为向量的“完美坐标”分别为，，
由得．
令，
则．
因为，所以，即．
令．
因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为．

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