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2024-2025学年四川省天立教育集团高一下学期期中联测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
4.若为第三象限角，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若在上的投影向量的模为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
8.已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的( )
A. 垂心，外心，内心 B. 重心，外心，内心 C. 重心，垂心，外心 D. 重心，垂心，内心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有( )
A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，则( )
A. B.
C. 在上单调递减 D. 在上有个零点
11.如图，正方形的边长为，分别为边上的点．则以下选项正确的有( )
A. 存在使是正三角形
B. 若的周长为，则
C. 若为中点，则的周长的最小值为
D. 若，则的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是 ．
13.如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和塔顶的仰角分别为，，且在处无人机测得点的仰角为，点，，在同一条直线上则塔的高度与无人机距地面的高度之比为 ．
14.若存在使满足，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若锐角满足，求．
17.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
求；
若的外接圆的面积为，求的面积．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，．
求的值；
若，求的值；
设点为线段上的一动点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，且为偶函数．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
求不等式的解集；
若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】若，则，即，
则，．
，则，则，
，得．

16.【详解】．
，
所以函数的最小正周期．
因为，得，
又因为是锐角，所以，
因为是锐角，所以，且，所以，
则
，
故．

17.【详解】由，得，
因为，所以，所以，所以或．
设的外接圆的半径为，由，解得．
由正弦定理，，得．
因为，所以，由可得．
由余弦定理，，
得，解得或．
故当时，的面积为；
当时，的面积为．

18.【详解】，且，
；
过点作交的延长线于点，
因为，
且，
是正三角形，，
在中，，
．
设，，
则，
，
，
令，
在上递减，在上递增，
且，
所以的取值范围是．

19.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称，
即，则，
又，得到，
故的解析式为；
由题意得将的图象向右平移个单位长度，
再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象
则，
令，则，
解得，
即不等式的解集为；
令，
则，
即，
其中辅助角的终边过点，即，，，
因为，则，
则由图可知，即，
由得，
得到，则，
即，
，
由反比例函数性质得在上单调递减，
由正比例函数性质得在上单调递减，
则在上递减，且，，
故的取值范围是．

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