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2024-2025学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.若等差数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数在处的切线与直线平行，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知实数是，的等比中项，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列和的前项和分别为、，若则( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于
B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D. 由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有的可能物理优秀
8.若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，，，，，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近，利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则( )
A. 变量与变量具有正相关关系
B. 剔除后，变量与变量的样本相关系数变小
C. 新的经验回归直线经过点
D. 若新的经验回归直线经过点，则其方程为
11.已知数列满足，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则是等差数列 B. 若，，则是等差数列
C. 若，，则是等比数列 D. 若，，则是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了 盏灯．
13.若曲线在处的切线经过点，则实数 ．
14.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最大值时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列直线的方程：
曲线在处的切线；
曲线过点的切线．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求，，并证明：数列为等比数列；
求的值．
17.本小题分
为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度单位：、监控点与企业的距离单位：的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值其中，：，，，，，，，．
利用相关系数，判断与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度关于监控点与该企业距离的回归方程类型？精确到
计算过程中的可参考数据：，
根据的判断结果，求其回归方程，并预测当时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据，，，，其线性相关系数为：，
回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
18.本小题分
对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
求的对称中心．
求．
记数列的前项和为，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
二进制数是用和表示的数，它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”若十进制数，其中，，则对应的二进制数为．
十进制数，分别用二进制表示．
证明：满足，，，，中有且只有个的所有二进制数对应的十进制数的和为．
将对应的二进制数中的个数记为，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：，故曲线在处的切线斜率为，
故在处的切线方程为，即；
设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为，
化简可得，代入可得，
即，解得或，
代入切线方程可得或．

16.解：由已知可得，解得，，
，
，，
两式相减得，即，
，又，
所以，因为，
所以数列为等比数列．
由得，，，
，
．

17.解：的线性相关系数
，
的线性相关系数
，
因为，
所以更适宜作为可吸入颗粒物浓度关于监控点与企业的距离的回归方程类型．
由题意可得，，
所以，
所以，
故关于的回归方程为，
当时，可吸入颗粒物浓度的预报值为．
18.解：由可得，
所以，
令，可得，
易知，
所以的对称中心为
由中的对称中心为，可得，
因为，
所以，，
两式相加可得
，
可得，
由可得数列为等差数列，且，
所以；
可得；
因此
；
若对恒成立，可得，
即，
令，可得恒成立，所以；
令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，
因此，可得，
即的取值范围为．

19.解：，
．
，其中中有且只有个，有种可能；
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，
出现次，均出现次，
所以对应的十进制数的和为，
，则，
又，
故，
由于，
故，故．

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