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2024-2025学年广东省东莞市五校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图、、、分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，则( )
A. B. C. D.
3.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在家商场的售价元及其一天的销售量件进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为( )
A. B. C. D.
4.一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当且时称为“凹数”；若，且，，互不相同，则“凹数”的个数为 ．
A. B. C. D.
5.在展开式中存在常数项，则正整数可以是
A. B. C. D.
6.从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是的整数倍”，则( )
A. B. C. D.
7.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前次中甲恰好投篮次的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把导函数称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析给出下列三个结论：
当销量为件时，总收益最大；
若销量为件时，总收益为，则当销量增加件时，总收益仍为；
当销量从件增加到件时，总收益改变量的近似值为．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
10.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点但他没有留意自己一共掷了多少次骰子设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算若有多个使最大，则取其中的最小值下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与的大小无法确定
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.某同学用收集到的组数据对制作成如图所示的散点图点旁的数据为该点坐标，并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定为离群点，把它去掉后，再用剩下的组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点后，拟合效果更好，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. 直线恰好过点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，，，则__ ．
13.若，则的值为
14.、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若有三个零点，求的取值范围．
16.本小题分
已知箱子中有除颜色外其他均相同的个红球，个白球，从中随机连续抽取次，每次取个球．
求有放回抽样时，取到白球的次数的分布列与方差；
求不放回抽样时，取到白球的个数的分布列与期望．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
18.本小题分
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄 次数
每周次
每周次
每周次及以上
若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；
已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：．
附：
19.本小题分
信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量的所有可能取值为，，，，且，，定义的信息熵．
证明：当且仅当时，；
若，且，比较与的大小；
重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.函数的定义域为，
且
令，解得或，则函数在上单调递增；
令，解得，则函数在上单调递减，
所以函数单调递增区间为，单调递减区间为．
由知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则需满足
解得，
综上可得，实数的取值范围．
16.有放回抽样时，取到白球的次数可能的取值为，，，．
每次抽到白球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则分布列为：
则
不放回抽样时，则
，，，
则的分布列为：
则
17.解：当时，，
则，所以，
因为，所以在处的切线方程为
因为，其中，
则，
当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
当时，令，可得，列表如下：
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则，
因为，当等号成立，
所以函数在上单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
18.解：零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于．
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的人中，年龄在内的人数分别为，，
依题意，的所有可能取值分别为为，，，
所以
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件，，，
星期天选择跑步为事件，
则，
，
则
，
所以小明星期天选择跑步的概率为．
19.若，则，所以．
当时，因为，所以，所以．
综上可知：当且仅当时，．
由得，由，得．
因为，所以，解得，于是，．．
因为，所以．
由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前次都正面朝上，
则，，，，
，．
所以，．
所以．
设，则，
两式相减得，
所以，
故．

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