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2024-2025学年广东省东莞市四校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是( )
A. B. C. D.
3.已知某射击运动员每次击中目标的概率是，则该射击运动员射击次至少击中次的概率为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数是 ．
A. B. C. D.
5.一袋中装有大小、质地均相同的个白球，个黄球和个黑球，从中任取个球，则至少含有一个黑球的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，( )
A. B. C. D.
7.第届冬奥会奥运村有智能餐厅、人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
8.用红、黄、蓝等种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学求得一个离散型随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
10.有名学生和名教师排成一排，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的排法
B. 当名教师相邻时，共有种不同的排法
C. 当名教师不相邻时，共有种不同的排法
D. 当名教师不排在两端时，共有种不同的排法
11.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 函数的单调减区间为，
B. 函数的值域为
C. 若关于的方程有三个根，则
D. 若对于恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，若各项系数和为，则正整数的值为 ．
13.某中学名学生参加一分钟跳绳测试经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于的有人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在之间的人数约为 ．
14.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为正实数，展开式的二项式系数和为．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中含的项；
若第项是有理项，求的取值集合．
16.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
17.本小题分
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过的大集团和个人数低于的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取个集团，全是大集团的概率为．
在取出的个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
若一次抽取个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品．
若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数有两个极值点．
求实数的取值范围；
若为自然对数的底数，且，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在展开式的二项式系数和为，
即，
，
展开式中二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以 ．
，
由，所以展开式中含的项是第项，
所以．
，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合是．

16.解：函数的定义域为．
导函数．
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即．
令，解得：或列表得：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为．
17.解：由题意知共有个集团，取出个集团的方法总数是，
其中全是大集团的情况有 种，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若个全是大集团，共有种情况；
若个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，；
故的分布列为：


数学期望为．
18.解：第次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择．
第次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第次测试的次品有种选择．
第次到第次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择．
第次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择．
根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种
测试次就找到所有次品的情况：
第次测试找到一件次品，有种选择，第次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况
测试次找到所有次品的情况：
第次测试找到一件次品，有种选择，第次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况．
第次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第次测试找到一件次品，有种选择，第次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况
根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种
19.解：由题知，函数的定义域为，
，
当时，对任意的，在上恒成立不恒为零，
故在上单调递减；
当时，令，则，解得，
当时，；
当时，．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
由题知，，
函数的定义域为，，
当时，对任意的，且不恒为零，
故在上单调递增，没有极值点；
当时，，且不恒为零，
故在上单调递增，没有极值点；
当时，令，解得，，则，
当时，；
当时，；
所以函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
综上，当时，有两极值点；
由可知，，，
所以，
设，，其中
所以，
又因为，可知，
所以在上单调递减．
，即，
所以的取值范围为．

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