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2024-2025学年广东省汕头某校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，，均有成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. B. C. D.
5.从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示是否取到白球，即，则的方差( )
A. B. C. D.
6.已知，分别是双曲线的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若二项式按的方式展开，则展开式中的值为( )
A. B. C. D.
8.物理学家本福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球两箱中的球除颜色外，没有其他区别先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
C. ，都有
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
11.如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点，，，在同一个平面内若点在四边形内包含边界运动，为的中点，则( )
A. 当为的中点时，异面直线与所成角为
B. 当平面时，点的轨迹长度为
C. 当时，点到的距离可能为
D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为 ．
13.甲、乙、丙、丁四名专家分别前往，，三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到中学，则不同的安排方式有 种填数字
14.已知点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，若点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，．
证明：．
若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的最值；
若函数有个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计道题进行测试，若这道题中，甲能正确解答其中的道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这道测试题中分别随机抽取题进行解答．
求甲、乙共答对道题目的概率；
设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
19.本小题分
已知椭圆：，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，．
求椭圆的标准方程．
，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形．
参考答案
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15.【详解】设数列的公差为，数列的公比为，
则，解得：，
所以数列的通项公式为；
数列的通项公式．
，
数列的前项和．
．

16.证明：连接，交于点，连接，
因为侧面为菱形，
所以，且为和的中点，
因为，
所以，
又，，平面
所以平面，
因为平面，
故AB；
因为，为的中点，
所以．
又因为，
所以≌，
故，
从而，，两两互相垂直，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．
因为，
所以为等边三角形．
又，则，
因此，
设是平面的法向量，则
即 ，
所以可取，
取平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为

17.【详解】由题知的定义域为，，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
当时，取得最大值，无最小值．
解法一
由题知有个零点，
方程，即有个解．
设，，
则函数与的图象恰有个交点．
，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于．
作出函数与的大致图象，如图所示．

结合函数图象知，要使函数与的图象恰有个交点，
则，，
即实数的取值范围为．
解法二
由题知有个零点，
方程，即恰有个解．
设，则函数的图象与直线恰有个交点．
，设，
则，
函数即单调递增，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于．
如图，作出直线与的大致图象，

结合函数图象知，要使直线与的图象恰有个交点，则，
故实数的取值范围为．

18.解：由题意得甲、乙两名学生共答对道题目的概率：
；
设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为，，．
，
，
，
的分布列为：
所以，
；
设学生乙答对的题数为，
则的所有可能取值为，，，则，
所以，，
因为，，
即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．

19.解：由题可知，当与轴垂直时，，
当与轴垂直时，不妨设的坐标为，
所以解得，．
所以椭圆的标准方程为；
证明：设的方程为，，，
联立得消去，得．
易知恒成立，由根与系数的关系得，．
由直线的斜率为，得直线的方程为．
当时，．
由直线的斜率为，得直线的方程为．
当时，．
若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下证．
因为，
代入得，
所以，即与相互垂直平分，
所以四边形为菱形．
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