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2024-2025学年河北省部分名校高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，则的值是( )
A. B. C. D.
2.科技创新小组有名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A. B. C. D.
3.已知某随机变量的分布列为下表，则 ．
A. B. C. D.
4.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子已知甲、乙两箱中各有盒肉馅饺子，盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. 和 D. 和
6.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
7.将名优秀教师分配到个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到个学校，每个学校至少分配名优秀教师，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.设则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件，下列说法正确的是( )
A. 若互斥，则
B. 若互斥，则
C. 若相互独立，则
D. 若，则
10.若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.设随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含项的系数是 用组合数表示
13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第与第个数的比为．
14.在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为传输方案为三次传输三次传输是指每个信号重复发送次收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为若发送，则依次收到，，的概率为 ；若发送，则译码为的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个不透明的盒子中装有个红球，个黑球，个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出个球．
求三种颜色的球都被摸出的概率；
记摸出的球的颜色种类数为，求的分布列与期望．
16.本小题分
在的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数成等差数列．
求的值；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调递增区间；
如果函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的极值点；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
某学校有两家餐厅，王同学开学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天继续去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，如此往复．
计算王同学第天去餐厅用餐的概率；
记王同学第天去餐厅用餐概率为，写出关于的表达式；
证明数列是等比数列，并求出的通项公式．
参考答案
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15.解：从盒子中一次性随机摸出个球，不同的取法共有种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种，
故三种颜色的球都被摸出的概率；
由题可知，的取值可能为
且，
，
的分布列为
．

16.解：在的展开式中，第项，第项，第项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第项，第项，第项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，
所以，解得或．
当时，展开式只有项，不符合题意，所以．
因为，
所以当时为有理项，总共有项，
由插空法可得有理项不相邻的概率为．
17.解：因为函数，
则当时，，
．
令，解得舍去，
由得，
所以的单调递增区间为．
因为函数，，
则，
函数在定义域内单调递减，
对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，，
，
即实数的取值范围为．
18.解：函数，定义域为，
，易知在单调递增，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是函数唯一的极小值点，无极大值点．
若对任意的恒成立，即在上恒成立，
则在上恒成立，
令，
则，
令，
则，易知单调递增，且．
当时，，
在上单调递增且，
故当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
故当时，取得极小值，也是最小值，则，
所以实数的取值范围为
19.解：设表示第天去餐厅，表示第天去餐厅，则表示第天去餐厅，
根据题意得，
所以；
设表示第天去餐厅用餐，则，
根据题意得，
由全概率公式得，，
即；
由整理得，，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即．

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