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2024-2025学年贵州省学校卓越发展计划项目高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则 ．
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，若向量，则等于( )
A. B. C. D.
4.九章算术是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为丈，上底面圆的周长为丈，高为丈，则它的体积是立方丈．
A. B. C. D.
5.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆：的上下顶点分别为、，为椭圆的右焦点，直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 ．
A. B. C. D.
7.设函数，若当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是的中线上一点不包含端点，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值是
10.某学校举行校园歌手大赛活动邀请了位专家评委，在活动结束时邀请这位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A. 若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有种排法
B. 若专家甲、乙两人不相邻，则共有种排法
C. 若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有种排法
D. 若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法
11.已知函数，其导函数为，则( )
A. 直线是曲线的切线
B. 有三个零点
C.
D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数为 ．
13.函数为自然对数的底数在处的切线方程为 ．
14.已知数列，定义集合，其中，记表示集合中元素的个数，并规定若，则 ；若，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，且满足．
求；
若，边上的中线的长为，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，且平面，若，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值；
17.本小题分
在数列中，，．
证明：数列是等差数列并求数列的通项公式．
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，，，且．
若在点处的切线方程为求，的值并求函数的极值；
设，若当时，对任意，都有成立，求的最大值．
19.本小题分
已知抛物线：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，且关于轴的对称点为，记的坐标为．
求抛物线在点处的切线方程；
求证：数列是等差数列，并求，的表达式；
求的面积．
参考答案
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14.
15.【详解】因为，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因为，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，又边上的中线的长为，
由余弦定理可得，
故，所以，
所以的面积为．

16.【详解】因为平面，平面，则，
又因为为矩形，则，且，平面，
可得平面，又平面，所以平面平面．
由题意可知：平面，且，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，所以，
则，
可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
易知平面的法向量为，
则，
由题意可知：二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

17.【详解】数列中，，，则，
又，所以是首项，公差为的等差数列，
故，所以．
由知，
，
则，
两式相减得
，
所以．

18.【详解】由得，
，，由题意知，，，，
当，时，，定义域为．
．
令，得或，由，得或；
由，得或，
时取得极大值，时取得极小值；
，
当时，，
在上恒成立，
在上恒成立，
记，则，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
，
，即的最大值为．

19.【详解】由，即，则，所以，
所以抛物线在点处的切线方程为，即；
因为，所以，
依题意过点且斜率为的直线为，
与抛物线的方程，联立可得，
由韦达定理可得，即，
则数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以；
由知：，
可得梯形的面积为：
，
同理可得，
又由梯形的面积为：
，
所以的面积为：
．

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