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2024-2025学年云南省“美美与共”民族中学联盟高二下学期联考（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数为虚数单位，则( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限
2.某教学楼三楼楼道里有盏灯，为了节约用电，需关掉盏灯，则关灯方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.若非空集合，，，满足：，，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列中，且且，则( )
A. B. C. D.
5.直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为( )
A. B. C. D.
6.对于数列，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.只用，，这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式中( )
A. 第三项系数为 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 常数项为 D. 所有项的系数之和为
10.已知正项等比数列的公比为，若，且，则( )
A. B.
C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列
11.若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个下界
B. 函数有下界，无上界
C. 函数有下界，无上界
D. 函数有界
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，向量，，且与垂直，则 ．
13.名学生和位老师站成一排照相，则位老师不相邻且不排在两端的排法有 种．
14.已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，．
求；
若外接圆的面积为，求面积的最大值．
16.本小题分
在等差数列中，，，数列的前项和为，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，等腰梯形中，，于点，且沿把折起到的位置，使．
求证：平面；
求三棱锥的体积；
求平面和平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数的值域；
求函数的单调区间；
若直线为的切线，求的值．
19.本小题分
设椭圆的离心率等于，、、分别是椭圆的三个不同的顶点，的面积为．
求椭圆的方程；
若、是椭圆的左、右顶点，动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，且，求证：直线经过定点．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，所以．
设的外接圆半径为，所以，所以，
由正弦定理得，则，
由可得：，即，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为．

16.【详解】解：设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为；
由数列的前项和为，且满足，
当时，可得，解得，
当时，可得，两式相减得，
即，整理得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
解：由知，，可得，
则，
可得，
两式相减，可得
，
所以．

17.【详解】由题意可知：，则，
且，且，平面，
可得平面，
由平面，可得，
因为，则，
则，则，
且，平面，
所以平面．
因为平面，可知三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积．
因为平面，平面，则，
且，可知二面角的平面角为，
又因为平面，平面，则，
则，可得，
所以平面和平面夹角的余弦值为．

18.【详解】时，，
求导得：，
易得时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
最小值为，又时，，
所以值域为：
由，，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上，
当时，递增区间为，无递减区间；
当时，递减区间为，递增区间为．
设切点为，依题意，，所以，
又，代入可得，，
设，则，
所在单调递增，
因为，所以，
所以．

19.【详解】由题意可知：，解得
所以椭圆的方程．
由可知：，
由题意可知：直线的斜率存在，且不为，
设直线的斜率，直线的方程为，
联立消去得，
因为直线过点，则，即，
代入，得，即．
同理：直线的方程为，
联立，消去得．
因为直线过点，则，即，
代入，得，即，
若，则，即
直线的斜率
，
直线的方程为，
令，解得，
可得直线过定点．
若，此时，直线也过点．
所以直线过定点．

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