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2024-2025学年四川省天立教育集团高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.如图，用种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有( )
A. B. C. D.
4.数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知是可导的函数，且对于恒成立，则( )
A. B.
C. D.
6.已知数列，是等差数列，其前项和分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
7.三次函数有如下性质：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心若直线过函数图象的对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. D. 数列的前项和为
10.函数的图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.下列命题正确的有( )
A. 若数列为等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列；
B. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是，取到最大值时的值是；
C. 已知数列的前项和为，则使的最小正整数为；
D. 已知数列满足，设的前项和为，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有种走法，从甲地不经过乙地到丙地有种走法，则从甲地到丙地共有 种不同的走法．
13.数列中，满足，，则 ．
14.已知函数若对于任意的都有成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程
Ⅱ求的最值．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式和；
若，若数列的前项和为，求证．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
求证：函数存在两个零点记为，且．
18.本小题分
记数列的前项积为，且．
证明：数列是等比数列
求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
当时，，证明：；
设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ由 ，得：，
，又，
曲线在点处的切线方程为：，
即．
Ⅱ函数，的定义域为，
由，令，
当时，故在内为增函数；
当时，故在内为减函数；
又当趋向于或时，趋向于．
由此知函数在时取得最大值，无最小值．
16.解：，，
联立，解得
所以的通项公式，前项和．
，
所以，时，，
时，符合上式，所以
因为，所以．

17.解：由
设，
因此当时，函数单调递增，，
当时，，因此，所以单调递增；
当时，，因此，所以单调递减，
因此当时，有最小值，即；
由可知：在时，单调递减，在时，单调递增，
，因为，，
所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点，即
构造函数
，当时，单调递减，
因此有，即，
因为，所以，
而，因此，
因为，所以，因为在时，单调递减，
所以由．

18.证明：因为数列的前项积为，
由可得，化简得．
在中，令，可得，所以
因为，
所以是以为首项为公比的等比数列．
由，得，
所以．
记
得，
所以，
所以．
19.解：当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为．
要证，只要证，
令，则，
所以只需证成立，
即对任意的恒成立．
设，则恒成立，
所以时，单调递减，
所以，所以，
即证得．
对任意的恒成立．
所以对任意的，有，
所以，
所以，
所以，
所以．

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