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2024-2025学年广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，若，则实数( )
A. B. C. 或 D.
3.若一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
4.已知点在角的终边上，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为和，塔身高度为则其体积约为．
A. B. C. D.
7.已知，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，以下结论正确的是( )
A. 是纯虚数
B.
C.
D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10.设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
11.在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与直线是异面直线
B. 直线与直线是相交直线
C. 存在点，使，，，四点共面
D. 存在点，使平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简的结果是 ．
13.若向量，且与的夹角是锐角，则实数的取值范围是
14.已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求函数的解析式及对称中心；
求函数在上的值域；
先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
16.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点．

求证：平面；
是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：
17.本小题分
如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，．

若，用，表示，；
求的取值范围．
18.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，求的范围．
19.本小题分
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点以下简称“点”通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为．
若，则
求；
若，设点为的“点”，求；
若，设点为的“点”，，求实数的最小值．
参考答案
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13.．
14.
15.解：根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．

16.解：因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
连接，交于，连接

因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，又因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以，平面
又因为平面，平面平面，
所以，

17.解：由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形．

所以，
因为，，所以，
所以，
．
因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，．
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为．
所以的取值范围．

18.解：由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以．
因为，则，
因为，
所以．
所以．
因为所以所以，
所以．

19.解：在中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
由知，则的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
．
由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，舍
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由，得，由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又因为而解得，所以实数的最小值为．

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