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2024-2025学年辽宁省县域重点高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量单位：克服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列，，，，，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
5.某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种排，上底边第一排栽种花卉株，第排栽种花卉数目比第排多株，则第排栽种花卉( )
A. 株 B. 株 C. 株 D. 株
6.已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为，若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为，则高三年级学生的近视率为( )
A. B. C. D.
7.已知有名学生参加知识竞赛的初赛，初赛共设置道试题，且每道试题必须作答，至少答对道试题，才能进入复赛，每人答对这道试题的概率分别为，，，道试题答对与否互不影响．记人进入复赛的概率为，当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，按下列操作构造等边三角形：边在轴的非负半轴上，与原点重合，点在的图象上，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.设，是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是( )
A. B. 事件，互相独立
C. D.
11.已知数列满足，，则( )
A. 是递减数列
B.
C. 当的前项和取得最小值时，
D. 对任意，不等式，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，若，，则公差 ．
13.已知函数，则 ．
14.甲、乙二人玩抛掷两枚质地均匀的硬币的游戏，约定如下：甲、乙中先由一人抛掷，直到出现两枚硬币都正面向上或已经抛掷次，则换另一人抛掷若甲先抛掷，抛掷次换为乙抛掷，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
求的值；
若曲线在点处的切线与函数的图象也相切，求的值．
16.本小题分
某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率与土壤的湿度的相关数据如下表：
求关于的相关系数精确到，并判断它们是否具有较强的线性相关关系？
求关于的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为时，种子的发芽率的值．
参考公式及数据：对于一组数据，，，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，．
17.本小题分
已知数列的各项均为正整数，其前项和为，且．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系饮食习惯分为良好与不良，从该地区随机抽取名居民，得到如下列联表：
饮食习惯 合计
良好 不良
患有这种地方性疾病
未患有这种地方性疾病
合计
请补充上面列联表，并判断是否有的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联？
通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将个人的血样混合再化验，如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人再分别化验一次．已知人的混管血样呈阳性．
(ⅰ)若这人中有人患有这种地方性疾病，现将这人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止，设表示所需化验次数，求的分布列与数学期望；
(ⅱ)若这人中有人患有这种地方性疾病，从这人中取出人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下人的血样逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设表示所需化验次数，求．
附：，其中．
19.本小题分
在数列中，若存在项：，，，，令，，，都有，则称为的“子减列”．
在项数列中，，，，，求出的所有“子减列”；
已知数列满足，且，．
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)若数列只有项，且为的“子减列”，中任意项都不构成等比数列，求的所有取值构成的集合．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】因为，所以，
解得．
由可得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
联立，得，
由题意可得，解得或，
所以的值为或．

16.【详解】由题，，，
所以关于的相关系数，
所以与具有较强的线性相关关系．
由，，则，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，
所以当土壤的湿度为时，种子的发芽率的预测值为．

17.【详解】由，当时，，
两式相减得，整理得，
又数列的各项均为正整数，则，即，，
又，解得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以的通项公式为．
由可知，所以，
所以．

18.【详解】
饮食习惯 合计
良好 不良
患有这种地方性疾病
未患有这种地方性疾病
合计
，
所以有的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联．
的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
所以．
的可能取值为，
，
，
所以，
．

19.【详解】由新定义知的“子减列”为或．
由，得，
整理得，又，则，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故数列的通项公式为．
由可得数列为，
要求出的所有可能取值，则只需求出的最大值即可，
又，若，则成等比数列，不合题意，则；
若，则成等比数列，不合题意，则；
又，所以，则，
同理，可得，且，所以，
则，这与已知条件矛盾，所以，
此时数列可以为或或等等，其任意项都不构成等比数列，
所以的所有取值构成的集合为．

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