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2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.设，，是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知平面向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据：的平均数是，方差是，则由，，和这四个数据组成的新数据组的方差是( )
A. B. C. D.
5.掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过”，事件“出现的点数是或”则事件与的关系为( )
A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与独立 D. 事件包含于
6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B.
C. D. 为钝角三角形
7.在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. B. ，则
C. D.
10.已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是( )
A. 若为的外心，，则
B. 若为的垂心，，则
C. 若，则与的面积之比为
D. 若，的面积为，则的面积为
11.已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱外接球的半径为
B. 三棱锥的体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形如图所示，，，，则原多边形面积为 ．
13.已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为 ．
14.已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、分别为三个内角、、的对边，．
求；
若，的面积为，求、．
16.本小题分
为普及抗疫知识弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲乙胜出的概率分别为，；
在第二轮比赛中，甲乙胜出的概率分别为，甲乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
从甲乙两人中选取人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
若甲乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
17.本小题分
以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示．
求直方图中的值；
估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率．
18.本小题分
如图所示，正四棱锥，，底面边长，为侧棱上的点，且．
求正四棱锥的体积；
若为的中点，证明：平面；
侧棱上是否存在一点，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
几何原本是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第号命题是著名的毕达哥拉斯勾股定理，证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形如图某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图，已知满足，，设，四边形、四边形、四边形都是正方形．

当时，求的长度；
求长度的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以则．
16.解：设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
，，，
，
同理
因为，
所以，派甲参赛获胜的概率更大．
由知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
，；
于是“两人中至少有一人赢得比赛”．
．
17.解：由，得
平均值，
用电量落在区间的频率之和为，
中位数落在区，设中位数为，则，
解得．
由题频率分布直方图可知，用电量落在区间的用户有户，记为，用电量落在区间用户有户，记为，记事件“至少有户落在区间内”．
从，中这个元素中任取个元素的样本空间，共有个样本点，
，共有个样本点，
，
即至少有户落在区间内的概率为．
18.解：中，，，，
所以．
由正方形可得为的中点，而，，
又平面，平面，
平面．
存在，理由如下：作中点，连结，，．
，，
又平面，平面，
平面，
，，
又平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面，而平面，
平面．
19.解：在中，，，，则，，
因为，所以
在中，，，
由余弦定理所以的长度为．
在中，由余弦定理得，所以，
设，在中，由余弦定理得，
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
代入可得，
因为，
所以，
当即时，的最大值为，
所以长度的最大值为．

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