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2024-2025学年山东省日照市高二下学期5月期中校际联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，，则公差( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.记为数列的前项和，设甲：为等差数列：乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，第层有个球，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若的公差，则为递增数列
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为
D. 若关于的方程恰有个不等的实根，则的取值范围为
11.已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”以下结论中正确的是( )
A. 若，则为“回归数列”
B. 若为等比数列，则为“回归数列”
C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则
D. 对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.设数列的前项和为，且，则 ．
14.已知，若恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记首项为的数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
17.本小题分
设数列满足，数列是公比大于的等比数列已知是和的等比中项．
求数列和数列的通项公式；
设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求在区间上的最值；
记．
证明：曲线为中心对称图形；
若函数有三个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
记方程的根为，证明：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】，
，
两式相减得：，
即，
，，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，．
当时，满足上式，．
由知，
，
，
又
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
．

16.【详解】由题意得，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，．
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．

17.【详解】由可得数列为等差数列，
设的公差为，的公比为，
由于是和的等比中项，所以，
由题意可得，解得，
所以，
即
由可得，
所以，
，
相减可得，
而，于是为单调递增数列，即，
对任意的，不等式恒成立，得，
解得或，
故的取值范围为或．

18.【详解】因为，则，
所以，令，解得，
当，单调递减，
当，单调递增，
又因为，
所以在区间上的最大值为，最小值为
令得，故的定义域为，
设是图象上任意一点，关于的对称点位，
因为在图象上，所以，
，
所以，
所以关于对称，
因为，所以是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点，
，
由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，，
若，即，此时，所以在单调递增，
由可得在没有零点，不符合题意，舍去，
若，即，，又因为，所以存在，使得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以时，，
时，，
当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意，
综上：

19.【详解】的定义域为，，
令，则，
当在单调递减，当在单调递增，
故的单调递增区间为，递减区间为．
设，则，
所以关于对称，不妨研究时的图象性质．
，
令，显然时，，
下面证明时，
，
由于时，，此时，所以在上单调递增，则，
所以当时，均有，因此在上单调递增，
所以，故，
由题意知：且，两边取自然对数得，
先证明：时，，
设，
则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号，
故，
所以，所以，
所以
在中，令，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
当时，在中，令，得，
所以时，，
当时，，所以，得证．

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