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2024-2025学年河北省承德市第八中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆台的上下底面半径分别为和，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，有三个相同的正方形相接，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如下图所示，则( )
A.
B. 是的一个对称中心
C. 的单调递增区间为
D. 若实数，满足，则的最小值为
10.已知向量，，其中，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则
D. 若，向量在方向上的投影为
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 与所成的角为
B. 该半正多面体过、、三点的截面面积为
C. 该半正多面体的体积为
D. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数 ．
13.从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．
14.如图所示，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数，则时的温度大约为 精确到
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间及对称中心；
将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
16.本小题分
已知平面向量，，，满足，，．
若与共线，求向量的坐标；
若，求向量，的夹角．
17.本小题分
已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为，底面边长为，内接正三棱柱的侧面积为．
求三棱柱的高；
求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比．
18.本小题分
已知函数
求的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最值，并求出取得最值时的值；
若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若的角平分线交于点，，，求；
若的外接圆的半径为，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】函数
，
．
令，，得，，
即函数的单调递增区间为
令，，得，，
所以函数的对称中心为
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象；
再向下平移个单位长度得到函数的图象．
因为，所以，所以，
所以，即的值域为．

16.【详解】设，又与共线，则且，而，
所以，可得或．
故或．
由，又，，
所以，又，则．

17.【详解】设正三棱柱的高为，底面边长为，如图所示：
则
解得
又因为正三棱柱的侧面积为．
所以
所以
解得或
所以三棱柱的高是或．
因为面积之比等于相似比的平方，
所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或．

18.【详解】最小正周期，
令，解得，
所以单调递增区间为．
因为，所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为
当时，为增函数，
，
所以，
令，则，
不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立，
令，开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去；
当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去；
当时，，
综上的取值范围是．

19.【详解】因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为．

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