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2024-2025学年江苏省无锡市玉祁高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.设与是两个不共线向量，且向量与共线，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，设，，若点在上，且，则( )
A. B. C. D.
4.若圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值是( )
A. B. C. D.
8.九章算术是我国古代的数学专著，是“算经十书”汉唐之间出现的十部古算书中非常重要的一
部．在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 若，则
10.已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则的取值范围是
D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为
11.如图，在正四棱锥中，，，，分别是，，的中点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 四棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 ．
13.已知向量，且，则向量与的夹角为 ．
14.已知圆锥底面圆的直径为，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位，其中是实数．
若是实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
在中，内角所对的边分别为已知．
求；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
求证：平面；
若为上的动点，为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明．
18.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为；已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
19.本小题分
如图，圆的半径为，其中，为圆上两点．
若，当为何值时，与垂直？
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，求最小值．
若的最小值为，求的值．
参考答案
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15.【详解】，
因为是实数，则．
，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则
故的取值范围为．

16.【详解】由，得，
在中，，
在中，．
，
由余弦定理得，
，，
的周长为．

17.【详解】如图，取为线段的中点，连接
因为为线段的中点，
所以．
又，
所以，四边形为平行四边形，．
因为平面，平面，
所以有平面．
又点为棱的中点，
所以有．
因为平面，平面，
所以有平面．
又，平面，平面，
所以平面平面．
又平面，
所以有平面．
平面
由知，当为线段的中点时，有平面平面．
因为为上的动点，平面，
所以，平面，
所以，平面．

18.【详解】由正弦定理，可得，即，
故，因为，所以，
所以；
由知，因为的面积为，
所以，解得，
因为为的中点，所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以的最小值为．

19.【详解】因为，
所以由余弦定理得，即，所以．
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以．
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值．
则的最小值为．
设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值时，．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形，向量垂直和数量积的关系，向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质综合性特别强，转化能力要求高，属于难题

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