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2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是( )
A. B. C. 或 D. 与相交
3.下列叙述中正确的是( )
A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
4.已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为的正三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是( )
A. B.
C. D.
6.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
8.已知复数是关于的方程的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为
10.对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则符合条件的有两个
D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积
11.在棱长为的正方体中，下列说法正确的是( )
A.
B. 直线与平面所成的角为
C. 三棱锥的体积为
D. 是的中点，点是侧面内的动点．若平面，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简
13.已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为 ．
14.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若与垂直，求实数的值；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，角的对边分别为，若．
求角的大小；
若，求的面积．
17.本小题分
已知复数
若复数为纯虚数，求实数的值；
已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
18.本小题分
已知四棱锥中，底面，，，，，．

求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
常用测量距离的方式有种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中为坐标原点．
若，求之间的欧几里得距离和余弦距离；
若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值；
若，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
即，解得．
，，
因为与的夹角为钝角，
所以，
即，解得，
当与平行时，
，解得，此时与夹角为，
故实数的取值范围为．

16.解：由和正弦定理可得，，
因，故得，即，
因，故；
由余弦定理，，代值整理可得，，
又，代入解得，，
于是，的面积为．

17.解：若复数为纯虚数，则，解得．
已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以
所以．

18.解：因为底面，平面，则，
又因为，即，
，，平面，
所以平面．
过作于，连接，
因为底面，平面，则，
，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，，，
则，是等边三角形，可得，
又因为，在中，，中求得，
所以，
即直线与平面所成的角的正弦值为．


19.解：因为，则，
所以，
又因为，
所以．
因为点在函数的图象上且，
即，且点的坐标为，
故
当时，则，
因为函数在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号；
当时，则，
且，则，代入可得；
当时，则，
因为函数在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为．
因为，
则，
令，则，
即与有交点，
可知半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况．
由圆心到直线的距离，解得，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，．
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
又因为，则；
所以的取值范围是．

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