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2024-2025学年河南省信阳市浉河区信阳高级中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在处点在水平地面下方进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距米，，其中到的距离比到的距离远米．在地测得最高点的仰角为与水平地面的交点，在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
4.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量当时，种群个体数量是起始个体数量的倍若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，已知正六边形的边长为，对称中心为，以为圆心作半径为的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
10.在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为( )
A. B.
C. D.
11.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D. 若为锐角三角形，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ．
13.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ．
14.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数
求实数及；
若是关于的方程的一个根，求的值．
16.本小题分
已知平面向量，其中是夹角为的单位向量．
当，求与夹角的余弦值；
若与夹角为钝角，求的取值范围．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，在底面中，，在棱上且．
求证：平面；
线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，已知，．
求；
若，求的面积；
若的面积为是上的点，且，求的长．
19.本小题分
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
若点分别是线段的中点，求；
当时称为调和点列，若，求值；
已知，且，点为线段的中点，，，求
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，，
则
因是纯虚数，则且，得
则，得．
由题意可知，，
则，
则且，
得，，故．

16.解：由已知，是夹角为的单位向量，
所以，
又，则，
所以，
又，
所以．
若与的夹角为钝角，则且不共线，
所以，且，
所以，且，
所以且．

17.解：因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面．
下面给出证明：
因为，所以，，
又因为点为上靠近点三等分点，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
因为在棱上且，即，
又因为，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面．

18.解：在中，因为，
所以，即，
因为，则，即，所以，
由余弦定理得．
由知，所以，
因为，，所以，
由知，所以，
所以的面积．
由知，
因为，可得，
由知，，故，，，
因为是上的点，且，则，，
由知，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故．

19.解：由条件可得，，则，所以．
由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，
则，即，即．
方法一：由，可得，即，所以，
又点为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，
在中，由正弦定理可得，得，
在中，由正弦定理可得，得，
又，
得，即，
由解得，负值舍去，即，，
所以．
方法二：因为，所以，
设，则，
又为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，
得，
所以，
设，则，
由，互补得，
即，
解得，所以，，
所以

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