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2024-2025学年上海市七宝中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.中，设，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
3.已知，，集合中有个元素，则的取值不可能是( )
A. B. C. D.
4.关于函数的以下两个命题：函数的图象是轴对称图形；对任意的，不等式恒成立．则正确的是( )
A. 正确正确 B. 正确错误 C. 错误正确 D. 错误错误
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知角的终边经过点，则 ．
6.已知且，则为第 象限角．
7.已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ．
8.已知为锐角，且，则 ．
9.已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为 ．
10.函数的定义域为 ．
11.已知，，则的最大值为 ．
12.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ．
13.已知中的边，，，若为边上的动点，则 ．
14.已知函数满足对任意的都有若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 ．
15.已知平面向量，，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是 ．
16.已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于，则满足条件的构成的集合为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
求函数，的值域．
18.本小题分
已知向量，满足，，设与的夹角为，
当时，求与的夹角；
若对任意实数，不等式恒成立，求的值．
19.本小题分
七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上不包含端点，点在半径上，且．
当米时，求分隔栏的长；
综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值．
20.本小题分
定义点，若函数满足，则称函数为点的“伴生函数”，点为函数的“源点”．
已知点为函数的“源点”，求实数的值．
已知点满足，若点的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
已知点的“伴生函数”满足若中，，，点为该三角形的外心，求的最大值．
21.本小题分
已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记．
求函数的最小正周期及对称轴方程；
当时，求函数的解析式；
设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.二
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
，
令，由可得，
则，，
对称轴为，图象开口向下，
所以当时，，
当时，，
所以函数值域为．

18.解：向量，满足，，设与的夹角为，
所以，
，则，
则，
故与夹角为．
将不等式两边同时平方，
得，
即
因为，与的夹角为，
则恒成立，
所以，
化简得，解得．

19.解：因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
即，解得或舍去，
所以的长为米；
因为，，
设，，则，
在中，由正弦定理得，
所有，
则
，
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米．

20.解：因为，
所以
在定义域上恒成立，
所以，而则；
由题意得：
，其中，
当，即时，取最大值，
故，则，
令，，
，
在定义域内为单调增函数，
所以的取值范围为；
由题意得，，则，
在三角形中，，，因此，
设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以，
，
，
代入得：，
所以当时，取得最大值．

21.解：函数的最小正周期为，
令，解得对称轴为；
当时，在区间上，，
，所以
当时，在区间上，，
，所以，
当时，在区间上，，
，所以，
所以当时，；
因为函数的最小正周期为，所以，所以
即函数的周期为，
由可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，
已知有解，即，则，
若对任意，存在，使得成立，
则在上的值域是在上的值域的子集，
，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以，即．

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