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2024-2025学年上海市奉贤中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的 ．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是 ．
A. B. C. D. 不确定
4.足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率为，即给出下列个结论：，则下列说法正确的是( )
A. 成立，不成立 B. 不成立，成立
C. 都成立 D. 都不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线的倾斜角为 ．
6.若双曲线的一个焦点为，则 ．
7.已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 ．
8. ．
9.若函数，则 ．
10.已知，，则 ．
11.极限 ．
12.如图，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型如图、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．

图 图
13.现有来自两个班级的考生报名表，分装袋，第一袋有名男生和名女生的报名表，第二袋有名男生和名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取份则恰好抽到男生和女生的报名表各份的概率是 ．
14.已知随机变量的分布为，则 ．
15.正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 精确到
16.已知函数，如果且，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知数列的各项均为正数，，且．
求证：数列是等差数列；
若数列满足求数列中的最大项与最小项．
19.本小题分
某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．
求个人来自两个不同专业的概率
设表示取到专业的人数，求的分布列及数学期望．
20.本小题分
已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点．
求椭圆的离心率；
当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；
若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”．
判断函数是否是“函数”，并说明理由；
已知函数是“函数”，求该函数的极值；
已知函数是“函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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16.
17.【详解】因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
同理得，平面，又平面，
所以，
在中，，所以，
在中，，
在中，，
在中，，所以，
则，
，
设点到平面的距离为，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角为．

18.【详解】证明：由，两边取倒数，可得，
即，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由，所以，
由则当时，，
所以的最大项为，
又当时，随着增大，减小，故单调递增，故的最小项为．

19.【详解】解：令事件表示个来自于两个不同专业，
表示个人来自于同一个专业，表示个人来自于三个不同专业，
，，
．
解：随机变量可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为：
所以．

20.【详解】由椭圆方程知，，，
所以，
所以离心率．
，，设，且．
所以，，
，，
又在椭圆上，满足，即，
，解得，即．
所以直线：，
联立，解得或
所以；
设，，，，
直线：，
联立，得．
则，．
直线的方程：，令得纵坐标；
直线的方程：，令得的纵坐标．
则，
若，即，
，
，，
代入根与系数的关系，得，解得．
存在直线或满足题意．

21.【详解】函数是一条过原点、斜率为的直线，倾斜角为．
其图像绕原点逆时针旋转后，所得的曲线是，
不满足函数定义，所以函数不是“函数”．
因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有个交点．
即方程最多只有个根，化简方程得：
．
当时，方程最多只有个根，符合题意；
当时，方程的判别式不恒成立，不符合题意．
所以要使得该函数为“函数”，则．
所以函数表达式变为．
对函数求导得：．
当时，，此时函数在和上单调递减；
当或时，，此时函数在和上单调递增；
结合单调性可知函数在处取极大值，在处取极小值．
计算可得函数的极大值为，函数的极小值为．
因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有个交点．
即方程最多只有个根，即方程至多一个实数根，
故只需函数是单调函数，求导得．
设，则，其中．
当时，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
则，
即且，；
故在必不单调；
当时，
同理可得，在上单调递增，在上单调递减；
，且；，
故恒成立不可能，
所以要使函数是单调函数，则只需恒成立，则只需，
解得，则；
当时，，符合题意；
综上，若使函数是“函数”，则，
则实数的取值范围为．

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