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2024-2025学年上海市格致中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为正数，则“”是“”的 ．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.向量在上的投影为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.设函数，的定义域均为，值域分别为、，且若集合满足以下两个条件：；当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：存在函数，使得和是互补函数；存在函数，使得和是互补函数．则( )
A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题；
C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题6分，共72分。
5.已知集合，，则 ．
6.不等式的解集是 ．
7.圆心角为，面积为的扇形的周长是___ ____．
8.在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则 ．
9.已知，且为第三象限的角，则 ．
10.若向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ．
11.若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为 ．
12.已知，且是偶函数，则实数 ．
13.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
14.已知不等式的解集为，则的值为 ．
15.如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则 ．
16.设为所在平面上一点，且满足，若的面积为，则面积为 ．
三、解答题：本题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量．
若向量与共线，求实数的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，平分．
若，求；
若，求．
19.本小题分
广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中．
写出关于的函数关系式；
如何设计，使得有最大值？
20.本小题分
一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”．
判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”；
若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．参考公式：
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.
17.【详解】因为，
所以，，
又向量与共线，所以，解得．
若向量与的夹角为锐角，则且不同向，
由，解得，
由得，此时同向，不满足题意．
综上，实数的取值范围为．

18.【详解】平面四边形中，内角和为，且则且．
平分，结合上面式子，则，，
故，，，
在中，由余弦定理得．
平分设，则．
设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得
则，
即

19.【详解】由已知可得，
在中由正弦定理可得：
，所以，
从而，
所以，．
，
由
令增区间是；
令减区间是；
所以在处取得最大值是．
答：设计成时，该设施的平面图面积最大是．

20.【详解】，是“三角形函数”，不是“三角形函数”．
理由如下：
任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则，
对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”，
对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，
因为，所以，故是“三角形函数”，
对于，因为可作为一个三角形的三边长，但，
所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”．
设为的一个周期，因为其值域为，
所以存在，使得，
取正整数，则，
则这三个数可作为一个三角形的三边长，
但，不能作为任何一个三角形的三边长，
所以不是“三角形函数”．
若，取，则这三个数可作为一个三角形的三边长，
但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“三角形函数”．
当时，对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：
当时，，同理，
，故
同理可证，，
可作为某个三角形的三边长．
当时，，可得如下两种情况：
当时，由得，
由在上单调递增可得，
当时，，
由在上单调递增可得，
综上得，，
又由及余弦函数在上单调递减，
得
同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长．
故时，是“三角形函数”，
综上，的最大值为．

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