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2024-2025学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高一下学期第一次模块考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若向量与平行，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，角的对边长分别为若，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则该正四棱台的侧棱长为( )
A. B. C. D.
6.如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，直径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
10.已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，再将的图象向右平移个单位，得到，则下列说法正确的是( )
A. 函数的解析式为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 若关于的方程在上有个实数根，则
11.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 当时，函数的值域为
C. 当时，函数的单调递增区间为
D. 若，函数在区间内恰有个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的模是 ．
13.如图，在等腰中，底边，，是腰上的两个动点，且形，则当取得最小值时，的值为 ．
14.已知中，点在边上，当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为单位向量，且与的夹角为．
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，．
证明：平面；
设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．
17.本小题分
已知平面向量．
求函数在上的单调区间；
当时，求函数的最小值及此时的值．
18.本小题分
如图，设半圆的半径为，点，三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图中完成下列各题．
求证：平面平面．
求四面体的体积．
若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
19.本小题分
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点以下简称“点”通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为．
若，则
求；
若，设点为的“点”，求；
若，设点为的“点”，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：对先平方可得：
展开得：
因为，为单位向量，所以，则，．
又因为与的夹角为，可得：
将，，代入可得：
所以．
因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线．
可得：
将，，代入上式可得：
整理得：，即，得：，解得．
若两向量同向共线，则存在实数，使得，即．
所以可得，将代入得，解得．
所以当两向量不同向共线时，．
综合以上两个条件，实数的取值范围是．
16.解：证明：如图连接、，
根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形，
因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
证明：根据圆柱的性质可得圆平面，
又平面圆，平面平面，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
17.解：，
令得；
令得；
得
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，此时，
，
的最小值为，
此时，即．
18.解：证明：因为，分别是，的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，同理得平面，
又平面，平面，，
所以平面平面．
如图所示：
设圆锥的底面圆半径为，则，解得．
所以在图中，，为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以．
，圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体的体积为．
如图所示：
在线段上存在点，且，使得平面，
理由如下：
取的中点，且是的中点，连接，
所以，．
取的四等分点，使，连接，．
因为，所以，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
19.解：在中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
由知，则的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
．
由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，舍
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由，得，由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又因为而解得，所以实数的最小值为．

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