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2024-2025学年上海市进才中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.中，已知，且，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
3.已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出一定不是的极小值点的为( )
A. 存在无穷多个，满足
B. 对任意有理数，均有
C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
4.设函数的最大值为，最小值为，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的定义域为
6.已知扇形的弧长为，周长为，则这个扇形的面积为 ．
7.在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则 ．
8.已知函数，则 ．
9.已知是第三象限角，，则 ．
10.在中，若，则
11.若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ．
12.已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 ．
14.若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ．
15.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ．
16.已知，，且满足，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，．
求的值，并写出该函数在点处的切线方程；
求函数在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数，．
求函数的单调增区间；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、景区管委会又开发了风景优美的景点经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上已知．

景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路求线段的长度长度单位精确到；
求线段的长度长度单位精确到
20.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的解析式及最小正周期；
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值；
在的题干下，若函数在内恰有个零点，求的值．
21.本小题分
设定义域为的函数在上可导，导函数为若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”．
判断是否为上的函数，说明理由；
若实数满足：为上的函数，求的取值范围；
已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论．
参考答案
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5.．
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14.
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16.
17.【详解】由已知可得，所以，
则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为．
又，所以函数在点处的切线的方程为．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值．
又，，
所以，函数在区间上的最大值是，最小值是．

18.【详解】由题意有，
令，解得，
所以函数的单调增区间为；
由在上恒成立，即在上恒成立，
由得，所以，即，
所以
即．

19.【详解】依题意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得舍去或，
所以线段的长度约为．
在中，，
，
，
在中，，
，
，
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以线段的长度约为．

20.【详解】由图可得，最小正周期，则，
由，可得
又，所以，，所以，
由题意得，
，
所以的最小值为，当，即；
，
令，可得，令，得，
由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，
由知异号，不妨设，
若，则，无解，
在内有四个零点，不符题意；
若，则在内有个零点，在内有个零点，符合题意，此时，得；
若在有个零点，
故在内应恰有个零点，，此时
综上所述，或．

21.【详解】因为，根据题意可知，
等价于在时恒成立，
所以是上的函数．
实数满足：，
即
特别地，在中取，可知
反之，当时，成立．
令，由于，且满足的为离散的数，
故为严格减函数，又，所以．
又．
从而的取值范围是：且．
若成立，则对任意正整数，有：，
即为上的函数，成立．故为的充分条件．
若成立，即对任意正整数，有：，
记函数的最大值为．
先证明恒成立．
反证法，假如存在使得，则取正整数，使得，
此时有，与矛盾．
这意味着为上的严格减函数．
再证明恒成立．
取为的一个最大值点，
则当时，由单调性知，但，
所以，
于是．
对任意，可取一个与有关的正整数，使得，
由知：．
于是成立．故也为的必要条件．
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