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2024-2025学年上海市青浦高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数的最大值是的是( )
A. B. C. D.
2.已知、为两个不平行的非零向量，则是的 条件
A. 充要 B. 既不充分也不必要 C. 充分非必要 D. 必要非充分
3.在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.是第 象限的角．
6.已知，，若，则 ．
7.函数的最小正周期为 ．
8.已知，则 ．
9.已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ．
10.方程，，则 ．
11.已知，，，则在方向上的数量投影为 ．
12.已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为 ．
13.若锐角满足 ．
14.若向量，已知与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
15.已知函数给出下列四个命题：
该函数的值域为；
该函数的最小正周期为；
当且仅当，时，；
对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是 ．
16.若存在实数及正整数使得在内恰有个零点，则满足条件的正整数的值有 个．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角的余弦值；
求．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
若，求；
若面积等于，求的值．
19.本小题分
如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数．
求函数的表达式；
求函数的单调递减区间；
若在上仅存在两个零点，求的取值范围．
20.本小题分
如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；

若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
21.本小题分
定义有序实数对，的“跟随函数”为．
记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有的集合；
记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知，若有序数对，的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.一
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.
16.
17.【详解】，，，
，
，
；
由知，
，
；

18.【详解】由正弦定理，，即，
因，故，即是锐角，故；
因为的面积为，所以，所以，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，解得或，所以或．

19.【详解】由题意可知，，，
则，故，
则．
，
令，
得，
故的单调递减区间为．
若在上仅存在两个零点，
则在上仅存在两个根，
，则，
结合正弦函数图象知，，得，
则的取值范围为．

20.【详解】作，垂足为，交于，连接，

由于点为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称，
则，则，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则
；
因为，则，
，
故，
则
，
因为，所以，故时，取最大值，
即当时，，
即在弧的四等分点处时，矩形的面积最大，．

21.【详解】由题意，，，
，
又，所以或，即所求集合为；
由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，，
由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
由题意，其中，，
易知时，，
，
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此
从而，即．

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