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2024-2025学年天津市咸水沽第二中学高一下学期5月期中数学试卷
一、选择题：本大题共9小题，共45分。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分
5.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为
A. B. C. D.
6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，点、分别是棱的中点，则过点、的直线被球截得的线段长为( )
A. B. C. D.
9.已知菱形的边长为，，点在边上，，若为线段上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知向量为单位向量，其夹角为，则 ．
11.的内角，，的对边分别为，，已知，，，则 ．
12.如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 ．
13.如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
14.在正方体中，，，分别是，，的中点给出下列三个推断：
平面
平面
平面
其中推断正确的序号是 ．
15.中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，则的最大值为 ；的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数，是虚数单位
若对应复平面上的点在第三象限，求的范围；
若是纯虚数，求的值；
若是实数，求的值．
17.已知向量，，．
求与垂直的单位向量的坐标；
若，求实数的值．
18.如图所示，在平行六面体中，分别是的中点，求证：

平面
19.在中，内角的对边分别为且满足．
求角；
若，，求的面积
若，求的值．
20.已知向量，满足，，．
求向量与的夹角；
若，求的值；
若向量在方向上的投影向量为，求的值．
21.在中，角，，的对边分别为，，，若．
求角的大小；
若，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：复数的实部为，虚部为，
在复平面内所对应的点的坐标为，
对应复平面上的点在第三象限，
，解得
是纯虚数，
是实数，，解得，
，则；
17.解：设与垂直的单位向量，
则，解得：或
或．
，，又，
，解得：．
18.解：因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又分别为的中点，所以，
所以

连结，设与连结交于点，连接，
四边形为平行四边形，点是的中点，
又是的中点，
是的中位线，
又面，面，平面，
19.解：，，，
由正弦定理得：，
，，，
整理可得：，又，．
由余弦定理得：，
，．
，，，
，，
．
20.解：已知，根据向量数量积的分配律展开可得：
，
因为，所以；，所以代入上式可得，
即，解得．
设向量与的夹角为，，根据向量夹角公式可得：，
因为，所以．
因为，可知．
同样根据向量数量积的分配律展开可得：
将，，代入上式可得：，解得．
向量在方向上的投影向量．
则．
将，代入可得：．
21.解：因为
由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以
因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号；
所以，故三角形面积的最大值

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