资源简介

2024-2025 学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若将函数 = sin π的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再将图象向右平移2个长度单位，则所得到
的曲线的解析式为( )
A. = sin 1 π2 4 B. = sin2
C. = cos 12 D. = cos2
2 1.已知点 (3, 2)， ( 5, 1)，且 = 2 ，则点 的坐标为( )
A. 1, 3 32 B. ( 8,1) C. 1, 2 D. (8, 1)
3.在 中，已知 cos = cos ，判断 的形状( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
4.如图，四边形 中， = 2 , 为线段 的中点， 为线段 上靠近 的一个四等分点，则 =( )
A. 1 2 B.
12
C. 1 2
D. 1 2
5.已知 3sin + cos = 23，则 sin 2

6 =( )
A. 7 B. 2 2 7 2 29 9 C. 9 D. 9
6.已知函数 ( ) = 2sin π ( > 0) π 2π6 在 0, 3 上存在最值，且在 3 , π 上单调，则 的取值范围是( )
A. 0, 23 B. 1,
5
3 C.
5 , 82 3 D.
11 17
4 , 3
7.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0, | | < 2 )，满足 (0) = 3，将函数 ( )的图象向右平移6个单位得
3
到函数 ( )的图象，若 ( )的图象关于直线 = 4对称，则 的取值可以为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第 1页，共 9页
8.如图，在 中，∠ = π， = 2 ， 为 上一点，且 = 1 + ，若 = 3， 3 4 = 4，
则 的值为( )
A. 76 B.
7 13 13
6 C. 12 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.在 中，若 + = 2 ，则 是 的中点
B.已知 ， ， 是平面内任意三点，则 + + = 0
C.若 ， ， ， 是同一平面上的四个点，若 = + (1 ) ( ∈ )，则 ， ， 三点共线
D.若 + + = 0，则 为 的外心
10.若 + 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 + 4 sin2 2 = 0，则下列结论正确的
是( )
A.角 为钝角 B. 2 + 2 2 2 = 0
C. 3tan + tan = 0 D. tan 3的最小值为 3
11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的
风景.假设水轮半径为 4 米(如图所示)，水轮中心 距离水面 2 米，水轮每 60 秒按逆时针转动一圈，如果水
轮上点 从水中浮现时(图中 0)开始计时，则( )
A.点 第一次达到最高点，需要 20 秒
B.当水轮转动 155 秒时，点 距离水面 2 米
C.在水轮转动的一圈内，有 15 秒的时间，点 距水面超过 2 米
D.点 距离水面的高度 ( π π米)与 (秒)的函数解析式为 = 4sin 30 6 + 2
第 2页，共 9页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 sin47
° sin17°cos30°
. cos17° = ．
13.函数 ( ) = sin cos ln| |的零点个数为 ．
14.已知菱形 的边长为 2，∠ = 60°，点 是边 上的一点，设 在 上的投影向量为 ，且满足 =
3 ，则 4
等于 ；延长线段 至点 ，使得 = 2 ，若点 在线段 上，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 , 是同一平面内的两个向量，其中 = 1,3 ,且| | = 10.
(1)若 ⊥ ,求 的坐标；
(2)若| + | = | 2 |,求 与 的夹角．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = 3cos , 2cos ， = 2sin , cos ．
(1)若 = ， ∈ π2 , π ，求 tan2 的值；
(2)设函数 ( ) = ，求 ( )图像的对称中心坐标，并写出 ( )的图像经过怎样的平移变换，可以得到一
个奇函数的图像(写出一种变换方式即可)．
17.(本小题 15 分)
π
已知 ( ) = 2sin 2 + 4 ．
(1)求函数 ( )的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求 ( )的单调增区间；
(3)当 ∈ π , 3π4 4 时，求函数 ( )的最大值和最小值．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且cos2 + sin2 = 2 cos2 sin sin ．
(1)求角 ；
(2)若∠ 的角平分线交 于点 ， = 3， = 4，求 ；
(3)若 的外接圆的半径为 3，求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
用高中所学知识解决下列问题：如图正方形 的边长为 1, , 分别为 , 上动点，且 的周长为
2．
第 3页，共 9页
(1)求 的最小值；
(2)证明：∠ 为定值，并求出该定值；
(3)设 的面积为 ，求 的最小值．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12或 0.5
13.2
14.1； 17764
15. + 3 = 0解：(1)设 = ( , )，因为 ⊥ 且 = 10，所以 2 + 2 = 10 ,
= 3 = 3
解得 = 1或 = 1 ,
所以 = (3, 1)或 = ( 3,1)．
(2)由题 = 1+ 9 = 10，
因为 + = 2
2 2
，所以 + = 2 ，
2 2即 + 2 + = 2 4
2
+ 4 ，
2
所以 6 = 3 ，即 6 cos < ,
2
> = 3 ，
所以 cos < , > = 12．
又< , > ∈ [0, π]，所以< , > = π3．
16.解：(1)由 = ，可得 3cos2 + 4cos2 = 4sin2 + cos2 ，
第 5页，共 9页
6cos2 = 4sin2 tan2 = 3整理得 ，即 2，
∈ π因为 2 , π ，所以 tan < 0
6
，所以 tan = 2 ，
2tan 2×
6
2
则 tan2 = 1 tan2 = 2 = 2 6．
1 62
(2) ( ) = = 2 3sin cos + 2cos2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin 2 + π6 + 1，
2 + π = π ∈ Z = π + π令 6 ， ，解得 12 2 ， ∈ Z．
所以 ( ) π π图像的对称中心坐标是 12 + 2 , 1 ， ∈ Z，
π
令 = 0，可得 ( )的图像的一个对称中心坐标是 12 , 1 ，
π
所以将 ( )的图像向右平移12个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像．
17.解：(1) π π最小正周期 = π，令 2 + 4 = π + 2 ( ∈ )，
π π π π
所以 = 2 + 8 ( ∈ )，所以对称轴方程为 = 2 + 8 ( ∈ )；
(2)令 2 π π π π2 ≤ 2 + 4 ≤ 2 π + 2 ( ∈ )，
所以 π 3π π 3 8 ≤ ≤ π + 8 ( ∈ )，所以 ( )的单调增区间为[ 8 , + 8 ]( ∈ )；
(3) ∈ [ π , 3π 3π π 7π当 4 4 ]时 4 ≤ 2 + 4 ≤ 4 ，
所以 1 ≤ sin(2 + π 24 ) ≤ 2 ，所以 2 ≤ ( ) ≤ 1，
2 + 3 当 4 = 4，即 = 4时取得最大值，
2 + = 3 = 5 当 4 2，即 8时取得最小值，
∈ [ π所以当 4 ,
3π
4 ]时，函数 ( )的最大值为 1，最小值为 2．
18.解：(1)因为cos2 + sin2 = 2 cos2 sin sin ，
可得sin2 = 1 cos2 + 1 cos2 sin sin = sin2 + sin2 sin sin ，
2 2 2
由正弦定理得 2 = 2 + 2 ，则 cos = + = 12 2，
且 0 < < π π，所以 = 3．
第 6页，共 9页
(2) π由题意可知：∠ = ∠ = 6，
因为 = + ，
1 1
则2 sin∠ = 2 × × × sin∠ +
1
2 × × × sin∠ ，
1 3 1 1 1 1 12 3
即2 × 3 × 4 × 2 = 2 × 4 × × 2+ 2 × 3 × × 2，可得 = 7 ．
(3) 由正弦定理可得sin = sin = 2 3，
则 = 2 3sin , = 2 3sin = 2 3sin( + ) = 3sin + 3cos ，
可得 2 = 4 3sin 3sin + 3cos = 3 3sin 3cos = 6sin π6 ，
∈ 0, 2π π π π又因为 3 ，则 6 ∈ 6 , 2 ，
sin π ∈ 1可得 6 2 , 1 ，即 2 ∈ ( 3,6)，
所以 2 的取值范围为( 3,6)．
19. (1)2 2 2
【详解】(1)因为cos2 + sin2 = 2 cos2 sin sin ，
可得sin2 = 1 cos2 + 1 cos2 sin sin = sin2 + sin2 sin sin ，
2 2 2
由正弦定理得 2 = 2 + 2 ，则 cos = + 12 = 2，
且 0 < < π π，所以 = 3．
(2)由题意可知：∠ = ∠ = π6，
因为 = + ，
1
则2 sin∠ =
1
2 × × × sin∠ +
1
2 × × × sin∠ ，
第 7页，共 9页
1
即2 × 3 × 4 ×
3
2 =
1 1 1
2 × 4 × × 2+ 2 × 3 × ×
1 12 3
2，可得 = 7 ．
(3) 由正弦定理可得sin = sin = 2 3，
则 = 2 3sin , = 2 3sin = 2 3sin( + ) = 3sin + 3cos ，
2 = 4 3sin 3sin + 3cos = 3 3sin 3cos = 6sin π可得 6 ，
又因为 ∈ 0, 2π π π π3 ，则 6 ∈ 6 , 2 ，
可得 sin π ∈ 16 2 , 1 ，即 2 ∈ ( 3,6)，
所以 2 的取值范围为( 3,6)．
19.解：(1)设∠ = π， ∈ 0, 2 ，则 = cos ， = sin ，
∵△ 的周长为 2，
∴ sin + cos + = 2，
所以 = 2 2sin +cos +1 = ，2sin +π4 +1
又 ∈ 0, π π π 3π2 ，∴ + 4 ∈ 4 , 4 ，
∴ 22 < sin +
π
4 ≤ 1，
∴当 sin + π π4 = 1，即 = 4时， 取得最小值，且
2
的最小值为 2+1 = 2 2 2；
(2)设∠ = ，∠ = ， , ∈ 0, π2 ，
则 = tan ， = tan ，
∴ = 1 tan ， = 1 tan ， = 1 tan 2 + 1 tan 2，
∴△ 的周长为 2，
∴ 2 = 1 tan + 1 tan + 1 tan 2 + 1 tan 2，
tan + tan = 1 tan 2 + 1 tan 2，
∴ tan + tan = 1 tan tan ，
∴ tan( + ) = tan +tan = 1 0 < < π1 tan tan ，又 2，0 < <
π
2，
∴ 0 < + < π，
∴ + = π4，
第 8页，共 9页
∴ ∠ = π2 ( + ) =
π
4，为定值；
(3)
如图，作 ⊥ ，
∵ = 1 = 1 2 2 sin∠ ，
∴ = 22 ，
∵ = 1 tan ， = 1 tan ，
∴ = 2 ( + ) = 2 (2 tan tan ) = tan + tan ，
又 = 1cos ， =
1
cos ，
∴ tan + tan = 1 × 1 2cos cos × 2 ，
∴ sin cos +cos sin cos cos =
1 1 2
cos × cos × 2 ，
∴ sin( + ) 1 2cos cos = cos cos × 2 ，
π
由(2)知 + = 4，
2
∴ 2 1 2cos cos = cos cos × 2 ，
∴ = 1，即 到 的距离的定值为 1．
2又 的最小值为 2+1 = 2 2 2，
所以 1的最小值为2 × 2 2 2 × 1 = 2 1
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑