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2024-2025 学年安徽省涡阳县第三中学高一下学期第一次质量检测（期
中）数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 3 + i 1 + 2i =( )
A. 1 + 5i B. 1 + 7i C. 5 + 5i D. 5 + 7i
2.若向量 = (1, 3)， = (3, 8)，则 2 =( )
A. ( 4,10) B. ( 2,5) C. (4,5) D. (8,10)
3 2+ .已知复数 满足 = ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 = 2 2， = 1， = 45°，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
5.棱台的上、下底面面积分别是 2，4，高为 3，则棱台的体积等于( )
A. 6 + 2 B. 3 + 2 2 C. 6 + 2 2 D. 6
6.已知 = 5， = 4， 与 = 2π的夹角 3，则
=( )
A. 10 B. 10 C. 10 3 D. 10 3
7. ， 是两个平面， ， 是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， ， ，则 // D.若 // ， ，则 //
8.如图，在 3中， = ， = 3 ，若 = + 2 ，则 + 的值为( )
A. 89 B.
3 11 7
4 C. 12 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
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A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
10.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A.若向量 与向量 满足| | > | |，且 与 同向，则 >
B.若向量 = (2,1)，则与 2 5 5共线的单位向量是( 5 , 5 )
C.若 = 1 2 3 + 3 ，则可知 = 2
D. | | ≤ | | | |
11.欧拉公式 i = cos + isin 其中 i 为虚数单位， ∈ )是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依
据欧拉公式，下列选项正确的是( )

A. 4i = 2 2
i
2
2 2 i B. 为纯虚数
i
C. 1 3复数 i的模长等于 1 D. 3的共轭复数为2 2 i
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.平面向量 与 的夹角为45 ， = (1,1)，| | = 2 则|3 + |等于
13.已知复数 的共轭复数 在复平面内对应的点为(2, 4) ，则 1+i = ．
14.如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1， 是底面圆周上一点，从 点出发绕侧面一周，再回到 点的
最短的路线长是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)若复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i 表示实数，求实数 的值；
(2)若复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i 表示纯虚数，求实数 的值．
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16.(本小题 15 分)
已知 为坐标原点， = (2,3), = (4,2), = ( , 3)．
(1)若 ⊥ ，求 的值；
(2)若 、 、 三点共线，求 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，四边形 是平行四边形，点 是平面 外一点．
(1)求证： //平面 ；
(2) 是 的中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 ，求证： // .
18.(本小题 17 分)
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 = 2，且 cos = 2 4．
(1)求角 的大小；
(2)若 ≥ ，求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .现测得∠ = =
35°，∠ = = 100°， = 400m.在点 测得塔顶 的仰角为 50.5°．
(1)求 与 两点间的距离(结果精确到 1m)；
(2)求塔高 (结果精确到 1m).
参考数据：取 2sin35° = 0.811， 2sin80° = 1.393，tan50.5° = 1.2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 34
13. 10
14.3 3
15.【详解】(1)由复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i 表示实数，可得 2 3 = 0，解得 = 0 或 3；
2
(2)由复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i 表示纯虚数，可得 5 + 6 = 02 ，解得 = 2． 3 ≠ 0
16.【详解】(1) = = (4,2) (2,3) = (2, 1)
∵ ⊥
∴ = 2 3 = 0 3，解得： = 2
(2)由(1)可知 = (2, 1), = = ( 4,1)
∵ 、 、 三点共线，
∴ 与 共线，即 2 × 1 + ( 4) = 0，解得： = 2
17.【详解】(1)因为四边形 是平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)连接 ，交 于 ，连接 .
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因为四边形 是平行四边形，
所以 是 的中点，又因为 是 的中点，所以 // .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以， //平面 .
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以， // .
2 2 2
18.【详解】(1)由 cos = 2
+
4和余弦定理可得， 2 = 2

4，因 = 2，化简得：
2 + 2 = 4，
2+ 2 4 1 π
再由余弦定理，cos = 2 = 2，又因 0 < < π，故 = 3 .
(2) 2 = 4 3 4 3由正弦定理，sinπ 3 =3 sin
= sin 可得 = 3 sin ,
= 4 33 sin =
4 3
3 sin(
2π
3 ) = 2cos +
2 3
3 sin ，
2 = 8 3则 3 sin (2cos +
2 3
3 sin ) = 2 3sin 2cos = 4sin(
π
6 )，
≥ π因 可知3 ≤ <
2π π π π 1 π
3，则6 ≤ 6 < 2，2 ≤ sin( 6 ) < 1，
故 2 的范围是[2,4)．
19.【详解】(1)在 中，∠ = 180° = 45°，

由正弦定理得sin∠ = sin ，
则 = sin 400sin35°sin∠ = sin45° = 400 2sin35° = 400 × 0.811 = 324.4 ≈ 324m
(2) 由正弦定理得sin∠ = sin ，
= sin = 400sin100°则 sin∠ sin45° =
400sin80°
sin45° = 400 2sin80° = 400 × 1.393 = 557.2m．
故塔高 = tan50.5° = 557.2 × 1.2 ≈ 668.64 ≈ 669m
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