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第三节 一无一次方程的应用
第六章 一元一次方程
2025鲁教版六年级数学下册
典型例题
题型一 列一元一次方程解形积问题
1.解等长问题
例①一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长为14m，其他三边用竹篱笆围成，现有长35m的竹篱笆，小明打算把它围成一个长比宽多5m的养鸡场，小李打算把它围成一个长比宽多2m的养鸡场，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？
解：把小王的设计，设宽为xm，则长为(x+5)m.
根据题意，得 2x+(x+5)=35
解得：x=10
x+5=15>14,不符合题意，所以小王的设计不符合实际。
按小李的设计，设宽为xm，则长为(x+2)m
由题意得：2x+(x+2)=35
解得：x=11
11+2=13<14,所以小李的设计符合题意。
此时养鸡场的面积为：11X13=143(m )
练习
一块长方形草坪的长比宽多10m,它的周长是132m，求宽。
点拔：在形积变化问题中，解题关键是在变化的问题中寻找不变的量，如周长、面积、体积、质量等。然后恰当地设未知数建立方程模型解决问题，体现了模型观念。
2.解面积问题
例②把一块梯形空地如图，改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变，则应对原梯形空地的上、下底边做怎样的调整？
30m
60m
30m
分析：题目中的等量关系：梯形空地的面积=长方形运动场地的面积。采用间接设未知数。
第一种解法
解：设改成后的长方形的长为xm .
则 30×x=30(30+60)×30÷2
解得x=45
因此将原梯形空地的下底边长由60m，缩小到45m，将上底边长由30m扩大到45m.
第二种解法
解：设将下底边缩短xm,则长方形的长是（60-x)m.
由题意得 30×（60+x)=(30+60)×30÷2
解得：x=15
练习
用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π-2）m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明围成的正方形和圆哪个面积大。
3.解等容（体）积问题
例③一个棱长为8cm的正方笨玻璃体容器里有6cm高的纯净水，把它全部倒入底面积为40cm 、高为12cm的圆柱形容器里，这时水面高为多少厘米？
分析：倒入圆柱形容器前后水的体积不变，据此列方程求解。
解：设这时水面高为xcm.
根据题意得：8×8×6=40x
解得：x=9.6
因此这时水面高为9.6cm.
练习
某种钢锭的截面是正方形，其边长是20cm，要锻造成长、宽、高分别为40cm、30cm、10cm的长方体，则应截取这种钢锭多长？
题型二 劳动调配问题
例④在甲地劳动的有27人，在乙地劳动的有19人，现在另调20人去支援，使甲地人数为乙地人数的3倍，问应往甲、乙两地各调多少人？
类 别 调配前人数 调配后人数
甲 地 27 27+x
乙地 19 19+（20-x)
分析一：设应调往甲地x人，则调配前后甲、乙两地人数可用下表表示：
方法一：设应调往甲地x人，乙地(20-x)人。
根据题意， 得 27+x=2[19+(20+x)]
解得：x=17
所以20-x=3
因此，应调往甲地17人，乙地3人。
类 别 调配前人数 调配后人数 调往人数
甲 地 27 2x 2x-27
乙地 19 x x-19
解法二：设调完人后乙地有x人，因此调往甲乙两地的总人数为20人。
可用下表表示：
所以(2x-27）+(x-19)=20
解得： x=22
2×22-27=17
因此应调往甲地17人，乙地3人。
练习
在春运期间，某火车站加大了安检力度，原来在北广场执勤的有10人，在南广场执勤的有6人，现共调50人去支援，调往北广场x人。
（1）则南广场增援后的人数为 （用含有x的代数式表示）；
(2) 若要使在北广场的人数是在南广场人数的2倍，问应调往北广场、南广场两处各多少人？
题型三 一元一次方程的和、差、分问题
例⑤某公司计划生产甲乙两种产品共20件，其总产值达到1170万元，相关数据如下表。为此该公司应生产甲乙两种产品各多少件？
产品名称 每件产品的产值 /万元
甲 45
乙 75
解：设该公司应生产甲产种产品x件，则生产乙种产品（20-x)件
依题意得 45x+75(20-x)=1170
解得x=11
20-x=9
因此，该公司应生产甲种产品11件，乙种产品9件。
练习
某商场计划拨款9万元从厂家进购40台电视机。已知该厂家生产两种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种电视机每台2200元，乙种型号的电视机每台2400元，那么该商场应分别购进甲乙两种电视各多少台？
题型四 行程问题
1.行程中的相向、相背问题
例⑥已知甲地和乙地相距1500km，一辆慢车从甲地开出，速度为60km/h，一辆快车从乙地开出，速度为90km/h(假设本题中的行驶路线都是直线）
（1）若两车相向而行，慢车先开30min，则快车开出后几小时两车相遇？
（2）若两车同时开出，相背而行，经过多长时间两车相距1800km
(3)若两车同时开出，相向而行，经过多长时是两车相距300km？
慢车行驶60xkm
快车行驶90xkm
甲
乙
甲
甲
乙
乙
1500km
慢车先开
60×－km
2
1
图1
1500km
慢车行驶60ykm
快车行驶90ykm
1800km
图2
乙
甲
慢车行驶60tkm
快车行驶90tkm
300km
1500km
图3
慢车行驶60t′km
快车行驶90t′km
300km
1500km
图4
分析：（1）慢车先开30min，即－h，设快车开出后xh两车相遇，则慢车行驶的路程为（60×－+60x），
快车行驶的路程为90xkm，用示意图1表示。
2
1
2
1
（2）设经过的时间为yh，则慢车和快车所行驶的路程分别为60ykm和90ykm，用示意图2表示所示。
（3）两车相距300km，存在相遇前相距300km和相遇后相距30km两种情况。设所用时间分别为th、t′h,相遇前相距300km的示意图3所示，相遇后相距300km的示意图4所示。
解：（1)设快车开出后xh两车相遇。
根据题意，得60（x+－)+90x=1500 解得x=9.8
因此快车开出后9.8小时两车相遇
2
1
（2）设经过yh时两相距1800km
根据题意，得 60y+90y+1500=1800
解得y=2
因此，经过2h两车相距1800km.
(3)若两车相遇前相距300km，设所用时间为th
则（60+90)t+300=1500，解得 t=8
若两车相遇后相距300km，设所用时间为t′h
则(60+90)t′-300=1500 解得t′=12
因此经过8h或12h，两车相距300km.
2.相对运动问题
例⑦铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人的速度为3.6km/h，骑车人的速度为10.8km/h,如果一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22s，通过骑车人用了26s，问：这列火车的车身长为多少米？
行人行进路程
火车
火车
火车行进路程
火车
火车
骑车人
行进路程
火车行进路程
（1）
（2）
分析：火车分别通过行人和骑车人的示意图如（1），（2）所示：
解：设火车的速度为vm/s，行人的速度为3.6m/h.即1m/s，骑车人的速度为10.8m/h,即3m/s.
根据题意，得(v-1)×22=(v-3)×26 解得 v=14
所以(v-1)×22=(14-1)×22=286(m)
因此 火车的车身长为286m.
练习
1.已知A、B两地相距480km，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60km，一辆快车从B地出发每小时行驶65km。
（1）若两车同时出发，同向而行，快车在慢车后面，经过多长时间快车追上慢车？
（2）若两车同时开出，背向而行经过多长时间两车相距730km
2.一个车队共有n（n为正整数）辆小轿车，正以36km/h的速度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为5.4m.甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过自己身边共用了20s的时间,假设每辆车的车长均为4.87m.
(1)求n的值;
(2)若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为vm/s,当第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边时共用了40s,求v的值。
3.环形跑道问题
例8 小明小杰两人在400m的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300m，小杰每分钟跑220m。
（1）若小明，小杰两人同时同地反向出发，则出发几分钟后，两人第一次相遇？
（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100m处。
①出发几分钟后两人第一次相遇？
②出发几分钟后，两人的路程第一次相距20m
解（1）设出发xmin后，两人第一次相遇。
由题意得 300x+200x=100 解得x=－
因此出发13/11min后两人第一次相遇。
11
13
解（2）①设出发ymin后，两人第一次相遇。
由题意得 300y-200y=100 解得y=－
因此出发5/4min后两人第一次相遇。
4
5
解（2）②设出发zmin后，两人第一次相遇。
由题意得 300z-200z+20=100 解得z=1
因此出发1min后两人第一次相遇。
练习
甲乙两人沿运动场中一条周长为400米的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙的速度的1.5倍，他们从同一地点，朝同一方向同时出发，8秒后甲第一次追上乙。
（1）求甲乙两人跑步的速度
（2）若甲乙两人从同一地点，同时背向而行，经过多长时间两人恰好第五次相遇？
题型五 列一元一次方程解决方案设计问题
例9.某牛奶加工厂现有鲜牛奶9t，若在市场上直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶片销售，每吨可获利2000元。该工厂的生产能力：如果制成酸奶，每天可加工3t；如果制成奶片，每天可加工1t。受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕（不考虑中间损耗）。为此该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能地制成奶片，其余鲜奶直接销售。
方案二：尽可能地制成奶片，其余制成酸奶销售。
请问选择那种方案比较好？为什么？
解：选方案二比较好，理由如下：
方案一：4天加工鲜奶制成奶片4t，其余鲜奶直接销售获利4×2000+(9-4)=10500(元）
方案二：（方法一）设x天加工鲜奶制成奶片，则（4-x)天加工鲜奶制成酸奶。
根据题意得 x+(3(4+x)=9
解得x=2.5 10500<12000
获利1.5x1x2000+2.5x3x1200=12000(元）
所以选择方案二比较好。
（方法二）设加工yt鲜奶制成奶片，则加工（9-y)t鲜奶制成酸奶。
根据题意得 －+——=4, 解得 y=1.5
获利 1.5x2000+(9-1.5)x1200=12000(元） 10500<12000
所以选择方案二比较好
y
1
3
9-y
班委会决定由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共 22支、送给某山区学校的学生。他们去商场,看到圆珠笔每支5元,钢笔每支6元。
(1)若他们购买圆珠笔、钢笔恰好用去120元,则圆珠笔、钢笔各买了多少支
(2)若购买圆珠笔可享受9折优惠,购买钢笔可享受8折优惠在所需费用不超过100元的前提下,请你写出一种选购方案。
练习
谢谢聆听，课下认真完成同步练习册。

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