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2024-2025 学年江苏省新海高级中学开发区校区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 6,1)， = (2, )，若 ⊥ ，则 =( )
A. 12 B. 12 C. 1 13 D. 3
2.已知角 为△ 的内角，cos = 45，则 sin 2 =( )
A. 2425 B.
12 C. 12 D. 2425 25 25
3.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 2， = 3， = 60°，则角 等于( )
A. 45° B. 75° C. 105° D. 135°
4.若三条线段的长分别为 5，6，7，则用这三条线段( )
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三
角形
5.一个物体在三个力 1 = (2,3)， 2 = ( 1, 4)， 3的作用下，处于静止状态，则 3 =( )
A. (0,1) B. ( 1,0) C. (0, 1) D. ( 1,1)
6.已知 4 5， 均为锐角，sin = 5，sin( ) = 13，则 sin =( )
A. 16 4 33 6365 B. 13 C. 65 D. 65
7.边长为 2 的正方形 上有一动点 ，则向量 的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
8.在 1中，tan = 3，tan = 2
10
，若 最短边的长为 2 ，则最长边的长为( )
A. 5 B. 2 5 C. 10 D. 5 22
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )

A. 4sin15 cos15 = 2 B. 3 tan151+ 3tan15 = 1
C. sin26 cos26 = cos12 D. sin6 cos6 = 2sin39
10.关于复数 及其共轭复数 ，下列说法正确的是( )
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A. | |2 = 2 B.若 1 = 2，则 1 = 2
C. = | |2 D.若复数 ∈ R，则 ∈ R
11.对于函数 ( ) = sin cos ，下列正确的有( )
A. ( )是偶函数 B. ( ) π在区间 0, 4 单调递增
C. ( ) π的值域为 1, 2 D. ( )的图象关于直线 = 2对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ∈ C，满足条件| | = 3 的点 的集合表示的图形的面积为 ．
13.在直角 中，∠ = 90 ， = 1， = 3，点 是边 上靠近 的三等分点，则 tan∠ = ．
14.在 中， 为 中点， = 3 ，设 与 交于点 ，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
(1) 1 i计算： 1 + 2i i5 + 1+i ；
(2)设复数 = 2 + 2 3+ ( 1)i, ∈ R，若 对应的点位于复平面的第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 = 2， = 3， 2 3 2 + = 1．
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 + 2 ．
17.(本小题 15 分)
已知 三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 cos = sin ．
(1)求角 ；
(2)若 = 13， 的面积为 3，求 + ．
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 3sin2 + cos2 + 1，
(1)求 ( )的最小正周期；
(2) = 3 ∈ π , π若 0 2， 0 6 2 ，求 sin2 0的值；
(3)求函数 ( ) π , π在 2 2 上的单调递增区间．
19.(本小题 17 分)
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如图，半圆 的直径为 4 cm， 为直径延长线上的一点， = 4cm， 为半圆上任意一点，以 为一边作
等边三角形 .设∠ = ，
(1) = 2π当 3时，求四边形 的周长；
(2)用 表示四边形 的面积，并求其面积的最大值；
(3)求 2 + 2 + 2的最大值，并指出此时 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.9π
13.12/0.5
14.15/0.2
2
15. (1) 1 i 1 i【详解】 因为1+i = 1+i 1 i = i，
1 i 3
所以 1 + 2i i5 + 1+i = 1 + 2i i
4 i + i 3 = 1+ 2i i + i = i + 2i2 + i = 2+ 2i；
(2)复数 = 2 + 2 3 + ( 1)i, ∈ R 在复平面内对应的点为 2 + 2 3, 1 ，
2
依题意可得 + 2 3 > 0，解得 < 3，即 的取值范围为( ∞, 3)．
1 < 0
2
16.【详解】(1)因为 2 3 2 + = 1 2，所以 4 4 3 = 1，
2
即 4 2 4 3 = 1，
又 = 2， = 3，所以 4 × 22 4 3 × 32 = 1，所以 = 3，

所以 cos = = 3 = 1，
2×3 2
由于 ∈ 0, π 2π，所以 = 3，
(2)因为 = 3， = 2， = 3，
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2 2
所以 + 2 = + 2 = 2 + 4 + 4 = 22 + 4 × ( 3) + 4 × 32 = 2 7．
17.【详解】(1)因为 3 cos = sin ，
由正弦定理可得 3sin cos = sin sin ，
又 ∈ 0, π ，故 sin ≠ 0．
∴ 3cos = sin ，
即 tan = 3，
因为 ∈ 0, π ，
π
所以 = 3；
(2)在 中由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos ，
= 13 = π代入 ， 3得：13 =
2 + 2 ，即 13 = ( + )2 3 ，
1 3
又∵ = 2 sin = 4 = 3，
∴ = 4，所以 13 = ( + )2 3 × 4，解得 + = 5(负值已舍去)．
18.【详解】(1)因为 ( ) = 3sin2 + cos2 + 1
3 1
= 2 2 sin2 + 2 cos2 + 1
= 2sin 2 + π6 + 1，
所以 ( ) 2π的最小正周期 = 2 = π；
(2) = 3因为 0 2，即 2sin 2 +
π
0 6 + 1 =
3
2，
所以 sin 2 + π0 6 =
1 π π π π 7π
4，又 0 ∈ 6 , 2 ，所以 2 0 + 6 ∈ 2 , 6 ，
cos 2 + π所以 0 6 = 1 sin
2 2 + π = 150 6 4 ，
所以 sin2 π π0 = sin 2 0 + 6 6 = sin 2 +
π
0 6 cos
π π π
6 cos 2 0 + 6 sin 6
= 1 × 3 15 × 1 = 3+ 154 2 4 2 8 ；
(3)由 ∈ π2 ,
π π 5π 7π
2 ，则 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，
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π π π π π
令 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2，解得 3 ≤ ≤ 6，
π π π π
所以函数 ( )在 2 , 2 上的单调递增区间为 3 , 6 ．
19.【详解】(1)在 中， = 4， = 2，∠ = = 2π3 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 16 + 4 2 × 4 × 2 × 12 = 28，
所以 = 2 7，于是四边形 的周长为 + + 2 = 6 + 4 7 cm．
(2)在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 20 16cos ，
所以 = 20 16cos ，0 < < π，
1
于是四边形 的面积 = + = 2 sin +
3
4
2
3
= 4sin + 4 20 16cos = 4sin 4 3cos + 5 3
= 8 1 32 sin 2 cos + 5 3 = 8sin
π
3 + 5 3，
即 π = 8sin 3 + 5 3 0 < < π ，
π = π 5π当 3 2，即 = 6时，四边形 的面积取得最大值为 8 + 5 3，
所以当 满足∠ = 5π6 时，四边形 的面积最大，最大值为 8 + 5 3．
(3)因为 2 + 2 + 2 = 20 + 2，
所以要求 2 + 2 + 2的最大值，即求 2的最大值，
因为 = 20 16cos ，
在 中由正弦定理得sin = sin∠ ，
即 sin∠ = sin 2sin = 20 16cos ，
所以 cos∠ = 1 sin2∠ = 2 2 cos 20 16cos ，
所以 cos∠ = cos ∠ + π π3 = cos∠ cos 3 sin∠ sin
π
3
= 2 2 cos 1 2sin 3 2 cos 3sin 20 16cos × 2 20 16cos × 2 = 2 5 4cos ，
由余弦定理得 2 = 16 + 20 16cos 2 × 4 × 20 16cos × 2 cos 3sin 2 5 4cos
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3 1
= 20 + 8 3sin 8cos = 20 + 16 2 sin 2 cos
= 20 + 16sin π6 ，
因为 ∈ 0, π ，所以当 = 2π 23 时， 取得最大值 36．
所以 2 + 2 + 2 = 20 + 2 2π的最大值为 2 14，此时 = 3 ．
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