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2024-2025学年浙教版八年级数学下册期末真题
专项练习 11 综合题
一、综合题
1．（2024八下·杭州期末）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将某年级的八（1）班和八（2）班的成绩整理并绘制成统计图：根据提供的信息解答下列问题：
班级 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 8.76 9 1.06
八（2）班 8.76 8 1.38
（1）把八（1）班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出表中，的值；
（3）依据数据分析表，有同学认为八（2）班的成绩比八（1）班好，但也有同学认为八（1）班的成绩更好，请你写出一条支持八（1）班成绩更好的理由．
2．（2024八下·温州期末）如图，正方形的边长为，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连结，，．
（1）求证：．
（2）设，四边形的面积．
用含的代数式表示．
当为等腰三角形时，求的值．
3．（2024八下·丽水期末）如图，在 中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图，当点恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图，当，，时，连结，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为分、分、分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当时，求的长．
③当点恰好落在上时，求的长．
4．（2024八下·西湖期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
5．（2024八下·越城期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
6．（2024八下·上虞期末）保护水资源从我做起． 学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是__________；众数是__________．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
7．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：
（2）如图是 6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上 ．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
①找出格点D，连结，使四边形是平行四边形．
②过点P作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
8．（2024八下·拱墅期末）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______；
（2）将表格补充完整．
班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 ______ 90 ______
二班 87 ______ 80
（3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
9．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，已知当x＝1时，y1＝4，函数y1，y2的图象交于点A和点B，点A到两条坐标轴的距离相等．
（1）求函数y1的表达式．
（2）求点A的坐标及k2的值．
（3）若点A在第一象限内，
①当x＝1时，比较y1与y2的大小；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
10．（2024八下·衢州期末）实验基地有一长为 10 米的墙 ， 研究小组想利用墙 和长 37 米的篱笆， 在前面的空地围出一个矩形种植园， 且在墙对面的篱笆上开一个宽为 1 米的门。
（1）小徐按图 1 的方案围成矩形种植园（边 为墙 的一部分），当矩形种植园的面积为 时，求出矩形种植园一边 的长。
（2）小祝按照图 2 的方案围成矩形种植园 (墙 为边 的一部分)， 能否围成面积为 的矩形种植园， 若能， 请求出矩形种植园的一组邻边长； 若不能， 请说明理由。
11．（2024八下·苍南期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式及点的坐标．
（2）请直接写出当时，的取值范围．
（3）点是反比例函数图象上的点，连结，，求的面积．
12．（2024八下·滨江期末）设函数 ，函数.若函数和函数的图象交于点
（1）求的值.
（2）求函数的表达式.
（3）请直接写出当时，的取值范围.
13．（2024八下·新昌期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数．
（2）求关于的函数表达式．
（3）移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．
14．（2024八下·慈溪期末）“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6米，宽2.5米 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道 通道宽度不小于3.5米
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
15．（2024八下·西湖期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高．
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
16．（2024八下·杭州期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式
（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）经多少秒时球的高度为15米？
（3）当达到最高时，求的值．
17．（2024八下·苏州工业园期末）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
18．（2024八下·海曙期末）“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）
（1）设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示）
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由．
19．（2023八下·东阳期末）如图所示，在 ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BC＝2，∠C＝105°，∠CBE＝45°，求线段DF的长度．
20．（2021八下·滨江期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，连接CE，AF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是AD中点，且CE⊥AD，当CE＝4，AB=5时，求 ABCD的面积.
21．（2024八下·金东期末）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润．
22．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连结，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
23．（2024八下·德清期末）在菱形ABCD中，是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，小明通过连结AC后证明得到BP与CE的数量关系是　 　；
（2）如图2，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在BD的延长线上时，其他条件不变，连结BE，若，，求PB的长.
24．（2024八下·拱墅期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
25．（2024八下·镇海区期末）如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 .
（1） 连结 交 于点 ， 连结 .
①求证： .
②若 ， 求 的长.
（2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值.
26．（2024八下·金华期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）.
（1）求m的值和一次函数的解析式.
（2）求点C的坐标.
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长.
27．（2024八下·金东期末）如下图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C，D的对称点分别为，）.
（1）如下图，当点在的延长线上时，连结，求的长.
（2）如下图，当点P与点C重合时，连结，、交分别于点E、F.
①求证：；
②求的长.
（3）当直线经过点B时，求的长.
28．（2024八下·诸暨期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点．
（1）如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数；
（2）连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形．
①如图2，若，，，求四边形的面积；
②若的面积是，，的面积都是，求的面积．
29．（2024八下·北仑期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标；
（3）如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
30．（2024八下·镇海区期末）如图1，在菱形ABCD中，，点E、F分别在边BC，CD上运动，满足，连接AC.
（1）求证：BE=CF.
（2）求线段BE，DF，EF间的数量关系.
（3）①如图2，连接对角线BD，BD与AE交于点，作于点，设，则的值是否变化 若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值.
②如图3，作，直接出的值为 .
答案解析部分
1．（1）解：八（1）班C等级的人数为：（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：将八（1）班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数；
八（2）班25个同学的成绩在A等级的人生最多，因此众数；
（3）解：根据表格中的数据可知，八（1）班25个同学的成绩的中位数比八（1）班25个同学的成绩的中位数大，且八（1）班25个同学的成绩的方差比八（1）班25个同学的成绩的方差要小，说明八（1）班25个同学的成绩较稳定，因此八（1）班成绩更好．
（1）利用总数减去其它组的人数求出八（1）班C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据中位数与众数的定义解答即可；
（3）比较表格中的中位数、众数、平均数和方差大小，作出判断即可．
（1）解：八（1）班C等级的人数为：（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：将八（1）班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数；
八（2）班25个同学的成绩在A等级的人生最多，因此众数；
（3）解：根据表格中的数据可知，八（1）班25个同学的成绩的中位数比八（1）班25个同学的成绩的中位数大，且八（1）班25个同学的成绩的方差比八（1）班25个同学的成绩的方差要小，说明八（1）班25个同学的成绩较稳定，因此八（1）班成绩更好．
2．（1）证明：连结．
垂直平分，
，
又为正方形对角线上一点，
由正方形的轴对称性得：，
；
（2）解：如图，作于点，
垂直平分，
，
又为正方形对角线上一点，
平分，
，
，
；
，
为等腰三角形分两种情况：
当时，即，
，
解得：，
，
当时，即，
，
化简得：，
解得：，
，
，
，
综上可得：或．
本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，线段的垂直平分线等知识，熟练掌握正方形的性质，明确等腰三角形分类讨论的情况是解题关键。（1）连结．由PN垂直平分得PE=PB，由正方形的轴对称性得，可得PE=PD；（2）①作于点，得PN=PM=CN=，； ②为等腰三角形分两种情况：得：，，，得，，可知或．
3．（1）证明：将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：解：四边形是平行四边形，
，，，
，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，设与交点，
，，，
，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，
，
，，
，
；
解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，，
设，
，，，
四边形为矩形，
，．
由知：，，
，
，
在中，，
由轴对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
故2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
解：（2）
解：①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
（1）设年至年日租金的平均增长率为，根据题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据“每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数”可得每辆汽车的日租金为元，根据“实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数”可得实际能租出辆；
②根据日收益总租金各类费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解.
（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
5．（1）
（2）解：根据题意得：(30-2x)a+(30-3x)a=850，
∵，
∴(30-2x)(20-x)+(30-3x)(20-x)=850，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（1）结合图形可得荒地的长=两个矩形的宽+三个通道的宽，据此建立等式，再变形为用含x的式子表示a即可；
（2）结合图形，利用平移的相似可得空白部分的面积=一个长为(30-2x)m、宽为a的矩形的面积+长为(30-3x)、宽为a的矩形的面积，再结合（1）的结论，可得关于字母x的方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
6．（1）96，98
（2）解：其中得94分的学生有12人，故补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
故全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数大概有810人．
解：（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
∴94分的学生人数为：60－6－15－18－9=12（人），
∴在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
∵98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（1）由92分人数及其所占的百分比可得被调查的总人数，依据中位数和众数的定义求解即可；
（2）求出94分的人数，即可补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中98分及以上人数所占比例即可得到对应的大概人数．
（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（2）解：其中得94分的学生有（人）；
补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
所以估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是810人．
7．（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格点D，使得平行且等于即可得到平行四边形；
②连接交于点O，过点P、O作直线l交于点E，直线I平分平行四边形的周长和面积．
8．（1）18
（2）87；90；85
（3）解：选一班级参加市知识竞赛.
理由如下：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看：一班的中位数大于二班的中位数，一班的众数大于二班的众数，所以一班成绩好（答案不唯一）．
（1）解：由条形图可知：A级有3人，B级有10人，C级有5人，
∴一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：由题意可得：一班成绩的平均分为：（分）；
∵一班成绩中90分出现了10次，次数最多，
∴一班成绩的众数为：90（分）；
∵一班抽取的学生人数为：3+10+5+2=20（人），
∴二班抽取的学生人数20（人），
∵二班成绩中A级的百分数为30%，B级的百分数为20%，C级的百分数为40%，D级的百分数为10%，
∴二班成绩中为A级的人数为：（人），
B级的人数有：（人）；
C级的人数有：（人）；
D级的人数有：（人），
把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，处于第10位、第11位的两个成绩分别为：90分、80分，
∴二班成绩的中位数为：（分），
补充表格如下：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 87 90 90
二班 87 85 80
（1）根据条形图可知A、B、C级的频数，将A、B、C的频数相加即可求解；
（2）众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；分别根据平均数、众数和中位数的定义并结合题意即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小分析即可求解．（答案不唯一）
9．（1）解：∵当x＝1时，y1＝4，
∴4＝k1＋6，
解得：k1＝ 2，
∴y1＝ 2x＋6，
故答案为：y1＝ 2x＋6.
（2）解；一次函数y1＝ 2x＋6，过第一、二、四象限，
设点A（m，m）在第一象限，
m＝ 2m＋6，
解得：m＝2，
∴A（2，2），
∵A（2，2）在反比例函数图象上，
∴k2＝4，
设点A（ m，m）在第二、四象限，
m＝ 2×（ m）＋6，
解得m＝ 6，
∴A（6， 6），
∵A（6， 6）在反比例函数图象上
∴k2＝ 36．
综上分析，点A坐标为A（2，2）或（6， 6），k2为4或 36．
（3）解；①当点A在第一象限，反比例函数解析式为y＝，一次函数解析式为y＝ 2x＋6，
当x＝1时，y1＝4，y2＝4，
∴y1＝y2．
②联立方程组，
解得：或，
∴A（2，2），B（1，4）．
当y1＞y2时，自变量x的取值范围1＜x＜2或x＜0．
（1）待定系数法求出y1解析式即可；
（2）分类讨论点A所在象限，分别求出对应的点A坐标及k2值即可；
（3）①将x＝1代入两个函数解析式即可比较出y1＝y2；
②先求出另一个交点B的坐标，据此写出不等式解集即可．
10．（1）解：设AB的长为x米，
则x（37+1-2x）=120，
解得：x1=4，x2=15，
∵0≤38-2x≤10，
∴14≤x≤19，
∴x=4舍去，x=15.
故矩形种植园一边AB的长15米.
（2）解：设AB的长为x米，
则，化简得-x2+24x=180，
∵b2-4ac=242-4×180=-144＜0，
∴不能围成，
故不能围成面积为180m2的矩形种植园.
（1）设AB的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）设AB的长为x米，然后列出相应面积关系式，结合一元二次方程根的判别式求解即可.
11．（1）解：点在直线图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
根据反比例函数图象的中心对称性质，可得点．
（2）解：如图，
当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，
根据图象可得，或．
（3）解：由可知，反比例函数解析式为，
当时，，
，
设直线解析式为，，在直线上，
，解得，
直线解析式为，
当时，，
，即，
，
．
（1）将点A的坐标代入y=3x求得m=3，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的解析式，根据中心对称的性质求出点B的坐标；
（2）当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量x的取值范围，利用函数图象即可得解；
（3）首先求出C点坐标，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，则，代入即可求解；
12．（1）解： 在函数 上，
.
.
又 在函数 上，
.
.
（2）解：由题意，根据（1）得， ， ，又 ，
.
.
（3）解：由题意，在同一坐标系中画出 和 的图象如下，
当 时， 的取值范围即为反比例函数的图象在一次函数图象上方时对应的自变量的取值范围，又 ，
当 时， 或 .
（1）把点B坐标代入反比例函数解析式，即可求出k1的值；在把点A坐标代入反比例函数解析式，即可得到m的值；
（2）把k1代入可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求的一次函数的解析式；
（3）根据两个函数的图象，对于同一个x值，函数值y大的点所在的图象位于上方.
13．（1）解：如图：
它是反比例函数．
（2）解：设这个反比例函数的表达式为由图像可知，图像过，
∴，
∴．
（3）解：时，中随的增大而减小，
当的值最大时，最小．
即当时，

（1）用平滑的曲线连接各点即可；
（2）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（3）利用反比例函数的增减性解答即可．
（1）解：如图：
它是反比例函数．
（2）设这个反比例函数的表达式为
由图像可知，图像过，
∴，
∴．
（3）时，中随的增大而减小，
当的值最大时，最小．
即当时，
14．解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
任务一：易证可以判定四边形是矩形；在图2中利用已知条件：，，可推出EG∥FH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
任务二：按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
15．（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；

（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．

（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把代入反比例函数解析式求出y的值即可；
（3）根据题意得到，解不等式求出x的取值范围即可．
（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
16．（1）解：∵足球回到地面，
∴足球的高度h=0，
∴20t-5t2=0，
解得：t1=0（不符合题意，舍去），t2=4.
答：经4秒后足球回到地面.
（2）解：∵足球的高度h=15，
∴20t-5t2=15，
解得：t1=1，t2=3.
答：经1秒或3秒时球的高度为15米；
（3）解：，
∵a=-5＜0，
∴h有最大值，且当t=2时，h最大=20.
答：的值为2．
（1）根据足球回到地面可知，于是可得关于的一元二次方程，解方程求出的值并根据问题的实际意义判断符合题意的t值即可；
（2）由题意令得关于的一元二次方程，解方程即可求解；
（3）由题意，将二次函数的解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
17．（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
10×（1+x）2=12.1，
解得：x1=10%，x2=﹣210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%
（2）解：4月：12.1×1.1=13.31（万件）
21×0.6=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵22＜ ＜23，
∴至少还需增加2名业务员
（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
18．（1）（150+3x）
（2）解：设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
或，
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额；
（3）解：按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
，
不能达到这个“小目标”．
解：（1）由题意可知，每天能售出杨梅的数量为：（千克），
故答案为：（150+3x）；
（1）用原来每天销售杨梅的数量+因为价格下调每天多售出的数量，列式并化简即可；
（2）设售价每千克下降x元，根据每天的销售数量×每千克杨梅的售价=总售价并结合每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设售价每千克下降m元，根据每天的销售数量×每千克杨梅的售价=总售价并结合每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可得出结论.
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：如图，过C作CG⊥DF于点G，
则∠CGF＝∠CGD＝90°，
由（1）可知，CF＝BC＝，四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠CFD＝∠CBE＝45°，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴CG＝FG＝CF＝1，∠GCF＝45°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠DCG＝∠BCD-∠GCF＝105°-45°＝60°，
∴∠CDG＝90°-∠DCG＝90°-60°＝30°，
∴CD＝2CG＝2，
∴DG＝
∴DF＝DG+FG＝+1，
即线段DF的长度为+1．
（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由中点的概念可得AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，则DE＝BF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）过C作CG⊥DF于点G，由（1）可知：CF＝BC＝，四边形BEDF是平行四边形，则BE∥DF，根据平行线的性质可得∠CFD＝∠CBE＝45°，推出△CGF是等腰直角三角形，得到CG=FG=1，∠GCF＝45°，易得∠CDG＝30°，进而可求出CD、DG的值，然后根据DF＝DG+FG进行计算.
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝BF，
∴AD DE＝BC BF，
即AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝ = ，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝6，
∴ ABCD的面积＝AD×CE＝6×4＝24.
（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合DE＝BF，求出AE＝CF，由AE∥CF利用一组对边平行且相等即证四边形AECF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得CD＝AB＝5，利用勾股定理求出DE=3，由线段的中点可得AD＝2DE＝6，根据平行四边形的面积公式计算即可.
21．（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元．
（1）解：由题意，得
元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
（2）解：设每件商品应降价元，由题意，得，
化简为
解得，
∵要更有利于减少库存，
∴
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元
（3）解：由题意，得
化简为
解得（舍）
∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元
∴总利润为元．
22．（1）解：，证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，∴．
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．∴，
连结．
∵，，
由勾股定理可知．，∴正方形的边长为．
（3）解：作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连结，，
∵，
∴．
（1）设，根据正方形的性质，结合等边对等角和三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）先得是等腰直角三角形，求出CF的长度，连接AC，勾股定理求出AC的长，再根据正方形的性质，求出正方形的边长；
（3）作，根据AAS证明，得到，进而求出AB的长，勾股定理求出AG的长，等积法求出HG的长即可．
23．（1）
（2）（1）中的结论仍然成立.
理由如下：如图，连结AC，
菱形，
和都是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
.
(1)中的结论仍然成立；
（3）如图，当点在BD的延长线上时，连结AC交BD于点，连结BE，CE，
四边形ABCD是菱形，
平分
同（2）易证，
是正三角形，
（1）BP与CE的数量关系为：BP=CE，
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠CAB=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴∠PAE=60°，AP=AE，
而∠CAB=∠CAP+∠PAB，∠PAE=∠CAP+∠CAE，
∴∠PAB=∠CAE，
在△ABP和△ACE中
∴△ABP≌△ACE（SAS）
∴BP=CE.
（1）由菱形和等边三角形的性质并用边角边可证△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：如图，连结AC，同理可证△ABP≌△ACE求解；
（3）当点在BD的延长线上时，连结AC交BD于点，连结BE，CE，同理可证△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等可得∠ACE=∠ABO=30°，BP=CE，由（1）可得△ABC是等边三角形，于是由等边三角形的性质和角的构成得∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，在Rt△BCE中，用勾股定理可求得CE的值，然后根据PB=CE可求解.
24．（1）证明：如图，作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；
（2）解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
（3）解：当与的夹角为时，
如图，
，，
，
，
；
当与的夹角为时，
如图
，
点，点，点，点四点共圆，
，
综上所述：或．
(1)作EP、EQ分别垂直于CD、BC，可证明≌，即可证明EDEG为正方形；
(2)结合正方形的性质得AE的长，由≌，可得CG的长；
(3)讨论DE和AD，DE和DC所成夹角为30°时，求出EFC的度数.
25．（1）解：①在 中，
②解：过 作 于
在 Rt 中，
连接 交 于
由折叠可知
又
是 ' 的中位线
是 的中垂线
（2）解：①如图：当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC
由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF
∴EF∥DG
∵AD∥BC
∴四边形EFGD为平行四边形
∴EF=DG
由（1）知：DG=CG=4
∴OF=
∴
∴CF=BC-BF=7-=1.5
∴C'C=2CF=3
②如图：当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC
由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H
∵BO = DO
∴OH∥AB，即：EF∥AB
∴CC'⊥AB
∵∠ABC=45°
∴△BCC'是等腰直角三角形
∴CC'=
③当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H
∵∠ABC =45°
∴△ABH是等腰直角三角形
∴AH=BH =4
∴CH=BC-BH=3
在Rt△ACH中
综上所述： 或 5 或 .
（1）根据平行四边形的性质：AD=BC，，又因为：AE=CF，得出：DE=BF，因此，得到OB=OD
（2）过 作 于 ，根据平行四边形的性质：得出：，即：△DCH为等腰直角三角形，因为DC=，得出CH=DH=4，在直角三角形BDH中，根据勾股定理：计算出BD的长，又折叠可知： 根据中位线性质得出：，得出 是 的中垂线，即可得出：
（3）本题需要分类讨论：
当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC，由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF，得出：四边形EFGD为平行四边形，故EF=DG，这样OF=2，再根据勾股定理：，计算出BF，算出CF，再乘以2即可
当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC，由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H，得出OH是△AC'C的中位线，得出：EF∥AB，因此：CC'⊥AB，即：△BCC'是等腰直角三角形，故可以计算出：CC'=
当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H，得出：△ABH是等腰直角三角形，即：AH=BH =4，再根据勾股定理：，计算CC'即可.
26．（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k1=-2×（-2）=1×m，
解得：m=4，
∴A（1，4）
将点A（1，4）、B的坐标代入函数y2=k2x+b表达式得：，
解得
∴一次函数的表达式为：y2=2x+2；
（2）解：过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，
∵∠GBA+∠CBH=90°，∠CBH+∠HBC=90°，
∴∠GAB=∠HBC，
∵∠BGA=∠CHB=90°，AB=CB，
∴△BGA≌△CHB（AAS），
∴CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，
则点C（4，-5）；
（3）解：连结 MA、MC，如图， 过点M作 AD、AB的垂线， 垂足为E、F， 由题知ME=MF，可得MA平分
四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
点M在AC上
设直线AC为y=kx+n，
将A、C两点坐标分别代入得，
解得
∴直线AC为
解方程组
得
点M坐标为 ，
重叠正方形的边长为 .
（1）根据反比例函数图象上任意两点的横纵坐标得乘积都相等可得k1=-2×（-2）=1×m，求解算出m的值，从而得到点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，由同角的余角相等得∠GAB=∠HBC，从而由AAS证明△BGA≌△CHB，得CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，即可求解；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后联立直线AC与反比例函数的解析式，求解得出点M的坐标，进而根据两点间的距离公式算出MC即可.
27．（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，.
（2）解：①如图.
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②如图.
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如图，连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
（1）先利用对称性求得AC与BC'，再用勾股定理求出的长；
（2）①先利用对称证得，，，，再证明，，即可得到；
②先根据矩形的性质，证得，再根据平行线的性质证得，进而可证得，然后利用等 角对等边证得，，设，用x表示出AE，再用勾股定理建立方程求解；
（3）分直线在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解．
（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
，
在中，；
（2）解：①
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
即的长是；
（3）解：①当直线在边上时，如下图所示：
连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
在中，，，
在中，，
即，，
；
②当直线在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
在矩形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．
28．（1）解：∠MON=120°，不变化，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴∠MAB+∠ABC=∠CAN+∠ABC，
∴∠MAC=∠NAB，
在△AMC和△ABN中，
∴，
∴，
∵∠MON=∠OBM+∠BMO=（∠ABM+∠ABN）+（∠AMB-∠AMC）
即∠MON=∠ABM+∠BMA=60°+60°=120°.
（2）解：①连，如图所示，

由（1）可知，，
∴CM=BN，
∵D，G分别为的中点，E，F分别为BC、NC的中点，
∴，，DG∥BN∥EF，
∴DG=EF，
同理：DE=GF，
∵BN=CM，
∴，
∴四边形为菱形，
∵∠MON=120°，
∴∠MOB=180°-∠MON=60°，
∴∠GDE=60°，
∴为等边三角形，
∴△GDE的边DE上的高h=，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
∵是等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴三点共线，
在中，
，
∵，
∴，
∴四边形DEFG的面积=；
②过点M作交的延长线于点R，如图所示，
∵△ABM是等边三角形，
∴△ABM的高h=，
∴，
同理可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴MR=，
∴，
∴，
∴，
∴．
（1）先利用证出，进而得出，即可求得∠MON=120°；
（2）由（1）可知，可得CM=BN，利用三角形中位线性质可证得四边形为菱形，为等边三角形，得出四边形的面积等于的面积的2倍，然后利用勾股定理得出的值，进而即可得出四边形的面积；②先利用面积公式得出的长，再证出为直角三角形，即可得出结论.
（1），不发生变化，理由如下：
如图，设与交于点P，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）①如图，连，设与交于点Q，连，
∵D，G分别为的中点，
∴，，
同理：，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
如图，在中，过点G作交于点K，
∴，
∴，
∴，
∵都为等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，三点共线，
∴在中，，
∵，
∴，
∴；
②如图，过点M作交的延长线于点R，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
29．（1）由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上，
把代入得，，
解得，
∴，，
∵轴，，，
∴，
，
由勾股定理得，即（2AD）2-AD2=（）2，
∴AD=2，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴直线 的函数表达式为；
（2）∵直线 的表达式为： ，
∴当 时，，则点，
，
，，
，
，
，
沿 折叠后，点 恰好落在 边上，
，
，
；
令，则，
根据 得：，
解得：，
故点 的坐标为；
（3）由旋转性质知，，则，
∴关于x轴对称，且G与C关于x轴对称，
∴；
∵沿着直线平移，
∴点G在平行于直线的直线（记为）上运动；
设解析式为，把点G坐标代入得：，
得：，即：；
当点G在上运动时，设其坐标为；设；
当为平行四边形的对角线时，如图1，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，如图2，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，如图3，
则，
解得：，
∴，
则；
图1 图2 图3
综上，点M的坐标为或或．
本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论．
（1）先求出点C的坐标，由含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AD，利用勾股定理求出AD的长，从而求出点A （-4，0），利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）由直线的表达式可求得点B的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，根据折叠的性质可推出∠A'PB=∠ABC，可得，令，则AP=A'P=A'B'=a+4，根据建立方程求出a值即得得点P的坐标；
（3）先求点G的坐标，再利用平移的性质及点G坐标求出直线解析式，当点G在上运动时，设其坐标为；设；分三种情况：当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，据此分别画出图形，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式分别求解即可．
（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上，
把代入得，，
解得，
∴，，
∵轴，，，
∴，
，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴直线 的函数表达式为；
（2）解：直线 的表达式为： ，
当 时，，则点，
，
，，
，
，
，
沿 折叠后，点 恰好落在 边上，
，
，
；
令，则，
根据 得：，
解得：，
故点 的坐标为；
（3）解：由旋转性质知，，则，
∴关于x轴对称，且G与C关于x轴对称，
∴；
∵沿着直线平移，
∴点G在平行于直线的直线（记为）上运动；
设解析式为，把点G坐标代入得：，
得：，
即：；
当点G在上运动时，设其坐标为；设；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
综上，点M的坐标为或或．
30．（1）证明：四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
即，
过点作交于点，如图所示：
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
化简得：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作交于点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
∴；
②6
解：（3）②∵，，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴．
（1）先根据菱形的性质结合题意得得到，再根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到；
（2）由（1）得，进而进行线段的运算得到，过点作交于点，从而结合题意运用含30°角的直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，再运用勾股定理得到，化简即可求解；
（3）①先根据题意表示出CE，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而根据勾股定理结合题意得到，过点作交于点，根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，从而根据结合三角形的面积和二次函数的最值即可求解。

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