资源简介

2024-2025学年浙教版八年级数学下册期末真题
专项练习 12 综合题
一、综合题
1．（2024八下·海曙期末）如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
2．（2024八下·诸暨期末）数学小组对当地甲，乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查，两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
甲公司司机月收入扇形统计图 乙公司司机月收入条形统计图
甲乙公司月收入数据统计表
平均数 中位数 众数 方差
甲公司月收入 1.8
乙公司月收入 7 5 7.6
将以上信息整理分析如右上表：
（1）填空：______；______；______；
（2）某人计划从甲，乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
3．（2024八下·玉环期末）某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件．
（1）y与x的函数关系式是_______．
（2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价．
4．（2023八下·丽水期末）如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
（1）若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
5．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设．
（1）已知点A（2，3），B（n，n+1）都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若n≠2，求n的值．
（2）当x＝m时，y＝m+1；当x＝m+1时，y＝2m﹣3，求k的值．
6．（2024八下·奉化期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．
（1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
7．（2024八下·钱塘期末）某校甲、乙两班进行一分钟踢毽子比赛，两班各派出10名学生参赛，比赛成绩如下：甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．乙班10名学生比赛成绩(单位∶ 个) ∶ 13，14，15，17，20，20，21，25，25，30．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）请分别求出甲、乙两班比赛成绩的众数．
（2）有同学认为“若甲班再增加一名同学踢毽子，则甲班比赛成绩的中位数一定发生改变”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
（3）甲班共有学生35人，乙班共有学生40人，现全部参赛．按比赛规定，成绩不低于20个就可以获奖，请估计这两个班可以获奖的学生总人数．
8．（2024八下·新昌期末）如图，在中，，，．记的长为，是边上的一个动点，连接，是点关于的对称点，连接，．
（1）如图1，当点落在上且时，求的值．
（2）如图2，若点恰好落在边上，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）若点恰好落在的边上，且．求的值．
9．（2024八下·惠州期末）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为.
（1）求道路的宽是多少米
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民
10．（2024八下·嵊州期末）某校随机抽取若干名八年级学生进行体能测试，成绩记为分，分，分，分四个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．根据图中信息，回答下列问题：
（1）这次一共抽查了几名学生．
（2）求所抽查的学生的平均分数．
（3）该校有名学生，估计该校有多少名学生体能测试成绩不小于分．
11．（2024八下·鄞州期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园．
（1）如图1，利用墙围成矩形花园，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：
（2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
12．（2024八下·苍南期末）如图1，，过点D作交于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，E为的中点．
①求的长．
②如图2，在边上取一点F，连结并延长交的延长线于点G，记的面积为，的面积为，当时，求的长．
13．（2024八下·诸暨期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．
（1）求的长度；
（2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；
①求该反比例函数解析式；
②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？
14．（2024八下·嘉兴期末）已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为．
（1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值．
15．（2024八下·北仑期末）某商场销售一批运动服， 平均每天可售出 30 套， 每套盈利 100 元， 为了扩大销售， 增加盈利， 减少库存， 商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现， 每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可多售出 1 套．
（1）当每套运动服降价(是偶数) 元时，商场每天可售出运动服 套 (用含 的代数式表示)；
（2）若商场每天要盈利 3150 元， 则每套运动服应降价多少元？
16．（2024八下·东阳期末）据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．
（1）求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元．
17．（2024八下·东阳期末）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛，七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下（单位：分）：
七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100
八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99
【整理数据】
成绩年级
七年级 1 1 5 3
八年级 4 4
【分析数据】
统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 93.6 94 24.2
八年级 93.7 93 20.4
（1）计算表格中的值；
（2）你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
18．（2023八下·德清期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形：
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求AD的长.
19．（2021八下·新昌期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点.
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标.
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围.
（3）连结并延长交双曲线于点，连结，求的面积.
20．（2023八下·南浔期末）如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
21．（2024八上·瓯海期末）
制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车．
素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量．
素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过月份销售量的两倍？
任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
22．（2024八下·德清期末）如图1，将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为MN，过点作轴的平行线交MN于点，连结BE.
（1）求证：四边形BEDM为菱形；
（2）如图2，当点N与点重合时，求点的坐标；
（3）如图3，在(2)的条件下，点是线段OC上一动点，点是线段OA上一动点，过点的反比例函数的图象与线段AB相交于点，连结PM，PQ，FM，QF，当四边形PMFQ的周长最小时，求点，点的坐标.
23．（2024八下·钱塘期末）如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F．
（1）求证：△CBE≌△DCF．
（2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG．
①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由．
②连结AG，若，AD＝3，求DG的长．
24．（2024八下·衢州期末） 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA1交边BC于点H，连结OH．
（1）求证： 。
（2）若 ， 求 的长。
（3） 如图 2， 连结 ， 若 ， 求 的长。
25．（2024八下·苍南期末）如图，≌，过点作交于点，连结．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，为的中点．
求的长．
如图，在边上取一点，连结并延长交的延长线于点，记的面积为，的面积为，当时，求的长．
26．（2024八下·湖州期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．
（1）如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，当点落在点处时，求折痕的长；
（3）当点落在的边上时，求点之间的距离．
27．（2024八下·西湖期末）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
28．如图1，在中，点E为AD中点，BA，CE延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若时，记AB与CD之间的距离为，AD与BC之间的距离为，求的值．
（3）如图2，连结AC，BD，在（2）的条件下，求证：．
29．（2024八下·吴兴期末） 在 中， ， 点 分别为边 上异于端点的动点，且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 .
（1） 如图 1， 边 交于点 ， 若 ， 求证： 四边形 为平行四边形；
（2） 如图 2， 当点 落在点 处时， 求折痕 的长；
（3） 当点 落在 的边上时， 求点 之间的距离.
30．（2023八下·东阳期末）如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当时，，
答：人和木板对滩涂的压强是；
（3）解：∵，
∴当时，p随S的增大而减小，
∴当时，即，
∴，
答：“木海马”底面面积至少需要．
（1）根据F=PS可得，然后将F=700代入得出结论；
（2）把s=1.4代入（1）中解析式即计算可；
（3）根据反比例函数的增减性得出结论.
2．（1）7，5.5，6
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲、乙两个公司平均数相等，但是甲公司司机收入的中位数、众数均大于乙公司，而且甲公司司机收入的方差小于乙公司，更稳定，所以选择甲公司.
解：（1）根据题意可知：甲公司司机月收入为9千元所占比例=1-10%-10%-20%-40%=20%，
甲公司司机平均月收入：
（千元）；
将乙公司司机的收入按从小到大的顺序排列为：5，5，5，5，5，6，6，10，10，13，
∴乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知，乙公司司机收入中6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数，中位数、众数和方差的大小进行选择即可得出正确结论.
（1）解：甲公司司机平均月收入：
（千元）；
乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
3．（1）
（2）解：，解得：，，
∵网店决定降价薄利多销，
∴，
这时售价为元，
答：每件运动衫的售价为元
（1）解：，
故答案为：；
（1）根据“销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件”，可得到y与x的关系式.
（2）根据总利润单利润销售量，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，然后求出其售价即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，，
∵网店决定降价薄利多销，
∴，
这时售价为元，
答：每件运动衫的售价为元．
4．（1）解：
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得，
化简，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：人行通道的宽度为
（1）利用平移的性质，可求出三块长方形绿地的面积和.
（2）设人行通道的宽度为x米，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可.
5．（1）解：①∵点A（2，3）该反比例函数图象上，
∴k＝2×3＝6；
②∵B（n，n＋1）在函数y＝的图象上，
∴n（n＋1）＝6，
解得n＝ 3或n＝2（舍去），
∴n的值为 3；
（2）解：∵当x＝m时，y＝m＋1；当x＝m＋1时，y＝2m 3，
∴k＝m（m＋1）＝（m＋1）（2m 3），
即m2 2m 3＝0，
解得m＝3或m＝ 1，
∵m＝ 1时，y＝m＋1＝0，不合题意，舍去，
∴m＝3，
∴k＝m（m＋1）＝3×4＝12．
（1）①利用待定系数法即可得出k的值；
②把B（n，n＋1）代入函数的解析式即可求得n的值；
（2）利用反比例函数系数k＝xy得出k＝m（m＋1）＝（m＋1）（2m 3），解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
6．（1）解： 解：设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x．
根据题意，得．
解得，．（不合题意，舍去）
答：土豆平均亩产量的年增长率为．
（2）解：设增加土豆种植面积a亩．
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．
（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x，根据“2021年土豆的平均亩产量为1000千克 ，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克”列方程解答即可；
（2）设增加土豆种植面积a亩，根据题意列一元二次方程解答即可．
7．（1）解： 甲班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是19，出现2次，
甲班比赛成绩的众数是19，
乙班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是20，25，各出现2次，
乙班比赛成绩的众数是20，25．
（2）解：不正确，
甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．
中位数为，
若甲班再增加一名同学踢毽子，则一共11个数据，假设该学生的成绩记作，则有11个学生，新的中位数是第6个成绩，
若，即10，11，12，18，，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
不管这位同学的成绩是多少，这组新数据的第6个数都是19，即新的中位数是19，故中位数不变．
（3）解：甲班10名学生中成绩不低于20个的有4位，乙班10名学生中成绩不低于20个的有6位，
估计这两个班可以获奖的学生总人数有：．
答：估计这两个班可以获奖的学生总人数有38（人） ．
（1）根据众数的概念进行求解；
（2）先根据中位数的概念，求出增加前后的中位数，再进行比较；
（3）先分别求出参加比赛的甲、乙班20名学生中可以获奖的比例，再分别乘以甲、乙班总人数，然后估计这两个班可以获奖的学生总人数.
8．（1）解：如图1，在中，，
．
在中，，，，
．
．
是点关于的对称点，
．

（2）解：如图2，在中，，
则．
是点关于的对称点，
，，．
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形．
（3）解：当恰好落在的边上时，可分三种情况：①当点在上时，如图，
，，
．
是点关于的对称点，
，．
在中，，
．
；
②当点在上时，如图4，
过点作于点，
由（1）知，，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
即：，
解得；
③当点在上时，即（2）中如图2的情况，连接，过作于点，如图5．
由（2）得，四边形是菱形，，
在中，，，则，
，
∴，．
在中，，由勾股定理得：
整理得：，
，
此方程无解．
综上：的值为8或．
（1）利用平行四边形可得，即可得到∠FCD=30°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边得一半和勾股定理得到，再根据折叠解题即可；
（2）利用平行四边形的性质得到是等边三角形，即可得到，进而得到结论即可；
（3）分为点在上；点在上；点在上三种情况，画出图形，利用勾股定理解答即可．
（1）解：如图1，在中，，
．
在中，，，，
．
．
是点关于的对称点，
．
（2）解：如图2，在中，，
则．
是点关于的对称点，
，，．
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形．
（3）解：当恰好落在的边上时，可分三种情况：
①当点在上时，如图，
，，
．
是点关于的对称点，
，．
在中，，
．
；
②当点在上时，如图4，
过点作于点，
由（1）知，，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
即：，
解得；
③当点在上时，即（2）中如图2的情况，连接，过作于点，如图5．
由（2）得，四边形是菱形，，
在中，，，则，
，
∴，．
在中，，由勾股定理得：
整理得：，
，
此方程无解．
综上：的值为8或．
9．（1）解：道路的宽为米，
由题意得：
整理得：
解得：(不合题意，舍去)，
答：道路的宽是米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元，由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为，阴影部分的面积看作长为（50-2x），宽为（30-2x）的长方形，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，现在租金（200+y），车位数（50-），根据停车场的月租金收入为元，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值（最小值）即可．
10．（1）解：依题意得，“分”的人数有人，占调查人数的，∴共抽取学生（人）；
故这次一共抽查了名学生．
（2）解：“分”的人数占调查人数的，∴“分”的人数为：（人），
“分”的人数为：（人），
抽取的所有学生成绩的平均数是：（分）．
故抽取的所有学生成绩的平均数为分．
（3）解：（人），
故估计该校有名学生体能测试成绩不小于分．
（1）利用“分”的人数除以占比求出调查人数；
（2）用求出“分”的占比乘以总人数求出“分”的人数，然后用总人数减去其它的人数求出“分”的人数，然后求出平均数解答即可；
（3）用1000乘以“分”和“分”占比解答即可．
（1）解：依题意得，“分”的人数有人，占调查人数的，
∴共抽取学生（人）；
故这次一共抽查了名学生．
（2）解：“分”的人数占调查人数的，
∴“分”的人数为：（人），
“分”的人数为：（人），
抽取的所有学生成绩的平均数是：（分）．
故抽取的所有学生成绩的平均数为分．
（3）解：（人），
故估计该校有名学生体能测试成绩不小于分．
11．（1）解：设BC=xm，则AB=m，
根据题意可列方程为：x（）=32，
整理得：，
解得：（16＞4，不符合题意，舍去），，
当x=4时，=8m，
答：矩形花园的边长分别为4米和8米.
（2）解：设BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB=（m），
根据题意可列方程为：y（12-y）=36，
整理得：，
解得：
，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
（1）设BC=xm，则AB=m，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于的一元二次方程，结合墙长
（2）花BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB（m），根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程求解，再将其代入中，即可得出结论．
（1）解：设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）解：花园的面积能为36平方米，
设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
12．（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，
则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，
，，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
，
，
∴，解得： ．
，，，
，
，
，
，
，
解得：．
所以．
（1）先根据全等三角形的性质，得出，，再利用平行线的性质得到，从而可得到，再根据等角对等边，得到，从而可得，可证得四边形是平行四边形，再结合一组邻边相等即可证得四边形是菱形；
（2）① 先根据菱形性质，得到，，，再设，可用a表示出CE与AE，再利用勾股定理求解；
②先利用勾股定理求得BD，再利用等面积法得，到关于DM的方程求解求得DM，然后利用，，，得到，代入后转化关于BG的方程求解.
（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，，，又E为的中点，
，，，
，
，即，
．
，，，
，
，
，，
，
解得．
故．
13．（1）解：长方形OABC中，A（10，0）、C（0，8），
∴BC=OA=10，AB=OC=8，∠AOC=∠OAB=∠B=90°，
由折叠可知：CE=BC=10，
在Rt△OCE中，OE==6，
∴OE的长度是6.
（2）解：①由（1）可得：，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
即
，
∴点D的坐标为，
关于的反比例函数图象经过点，
∴将点D（10，3）代入反比例函数，得：，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
根据题意可知，直线CD过点，，
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：，
令，
解得：或，
；
；
由折叠可知，，
延长至点M，使得，则，如图所示，
连接交于点，则点即为所求；
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线MF的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
（1）由四边形是矩形，所以=10，=8，，由折叠可知，，即可求得；
（2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以AD=3，即可得出，将点代入反比例函数解析式可得，；
②延长至点M，使得，连接交于点，则点即为所求.根据待定系数法可分别求得直线CD、MF、CE的解析式 ，进而即可求得点P的坐标.
（1）解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
关于折叠得到，
，，
；
（2）①，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
，
，
关于的反比例函数图象经过点，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
，，
，
解得，
，
令，解得或，
；
；
由折叠可知，，
如图，延长至点，使得，则，
连接交于点，点即为所求；
设直线的解析式为：，
，解得，
，
同理可得直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
14．（1），
（2）
15．（1）
（2）设每件运动服应降价元，根据题意得：
，
解得：或30，
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
，
答：每件运动服应降价30元．
解：（1）当每套运动服降价 (是偶数) 元时，商场每天可售出运动服套；
故答案为：.
（1）根据每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可多售出 1 套，列出代数式即可；
（2）设每件运动服应降价元，根据利润=每套的利润×销售量，结合商场每天要盈利 3150元，列出方程并解之即可．
（1）解：当每套运动服降价 (是偶数) 元时，商场每天可售出运动服套；
（2）解：设每件运动服应降价元，根据题意得：
，
解得：或30，
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
，
答：每件运动服应降价30元．
16．（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：景点接待游客的年平均增长率为；
（2）设房价定为元时，宾馆当天的利润为元，
由题意得：，
解得：，，
为了尽可能让游客享受更低的单价，
，
答：当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
（1）设景点累计接待游客的月平均增长率为，根据年月底和年月底的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解得：，，为了尽可能让游客享受更低的单价，取较小正数解即可，当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
17．（1）解：根据统计数据可得：a=1，b=1；
把数据按照从小到大排列为：
七年级 84 88 90 94 94 94 94 99 99 100；
八年级 84 88 93 93 93 94 97 98 98 99；
∴m=94；n=；
（2）（2）从平均数来看，八年级比七年级高，说明八年级比七年级的成绩好；
从方差上看，八年级的比七年级的小，说明八年级的成绩比较稳定．
因此，成绩较好的是：八年级．
（1）整理数据：根据八年级抽取10名学生的成绩，可得、的值；再根据众数和中位数的定义即可得求得m，n的值；
（2）根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案（答案不唯一）．
18．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE， BD=AE
∵D为BC中点，
∴DC=BD
∴AE=DC
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC， D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴平行四边形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形.
∴AO=CO=DO=EO
∵∠AOE=60°， AE=4
∴△AOE是等边三角形，
∴DO=EO= AE=4，DE=8
∵∠DAE=90°
（1）由平行四边形的性质可得BD//AE， BD=AE，根据中点的概念可得DC=BD，则AE=CD，推出四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）由矩形的性质可得AO=CO=DO=EO，推出△AOE是等边三角形，得到DO=EO= AE=4，DE=8，然后利用勾股定理计算即可.
19．（1）解：将点代入一次函数，得，
∴点A的坐标为
将点代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为.
解得，.∴点的坐标为.
（2）解：或.
（3）解：法一：如图1，构造矩形.
.
法二：如图2，过点作轴，与直线相交于点.
由反比例函数的对称性点的坐标为.
当时，，
∴点D的坐标为，
∴.
∴.
法三：由题意可知，，，
所以是直角三角形，且，
∴.
解：（2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围，由图象可得或.
（1）由题意把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式可求得a和m的值，即可得反比例函数的解析式；然后将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立解方程组可求得点B的坐标；
（2）由不等式可知：直线的图象高于双曲线的图象，结合图形可得符合题意得x的范围；
（3）法（一）：将三角形ABC放在矩形中，用矩形的面积减去外边三个直角三角形的面积即可求解；
法（二）： 过点C作CD⊥x轴，与直线AB相交于点D，根据反比例函数的图象是中心对称图形可得点C的坐标，由CD⊥x轴可知这两点的横坐标相等，由点D在直线上可得点D的纵坐标，则CD=yC-yD，根据S三角形ABC=S三角形ADC+S三角形BDC可求解.
20．（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
（1）根据平行线的性质得：，E是边的中点得：，证明得：，又，即可得到四边形是平行四边形；
（2）根据四边形是平行四边形得：，，由勾股定理得：，，最后再用勾股定理得：.
21．任务1： 解：设月份到月份的月平均增长率为．
可得方程，解得（舍），
所以月份到月份的月平均增长率为．
任务： 解：月份销售量为，从月份开始，销售量会超过月的两倍
任务：解：设降价元．可得方程，
解得，
因为“此次销售要尽量让利于顾客”，
所以，
（万元），
∴下调后每辆汽车的售价为万元
（1）设月平均增长率为，然后根据“月份销售量为万辆，月份的销售量达到万辆车 ”列方程解题解即可；
（2）利用（1）中的增长率计算月份销售量即可；
（3）设降价元．根据利润=单利润×销售量列方程求出y的值解题.
22．（1）∵四边形OABC是矩形，且轴
折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为MN
四边形BEDM是平行四边形
又
BEDM为菱形.
（2）点与点重合
设，则，
在Rt中，
即，
解得，
点的坐标为；
（3）由(2)得坐标为，设点坐标为，
点M，F都在反比例函数的图象上，
即：，
解得，
坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点
则，连结，
四边形PMFQ的周长
当'四点共线时四边形PMFQ的周长最小，
设直线的解析式为，把，代入，得
，解得
直线'的解析式为：，
令，即，得，
点的坐标为，点的坐标为.
（1）由矩形的性质可得DE∥BM，根据平行线的性质得∠BMN=∠DEM，由折叠的性质可得∠BME=∠DME，BM=DM，结合已知和等腰三角形的性质可得DE=BM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDM是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解；
（2）在Rt△AOD中，用勾股定理求出OD的值，由线段的构成CD=OC-OD求出CD的值，设ED=x，在Rt△CMD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，则可得点E的坐标；
（3）由题意易得点F的坐标，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连结，由四边形PMFQ的周长的构成和两点之间线段最短可知：当'四点共线时四边形PMFQ的周长最小，设直线的解析式为，把M、F的坐标代入直线的解析式可得关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，则可得直线的解析式；令y=0可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵BE⊥CP，DF⊥CP，
∴∠BEC＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（AAS）；
（2）解：①∵△CBE≌△DCF，
∴CE＝DF，BE＝CF，
∴BE＝CF＝EG，
∵GF＝EG+EF＝CF+EF＝CE＝DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∵CG＝CE+EG＝GF+EG＝，
∴；
②过点B作BH⊥BG交CG于H，过点A作AQ⊥GD交GD于点Q，
∴∠GBH＝∠PBC＝90°，GB＝BH，
∴∠GBA＝∠HBC，
∵AB＝BC，
∴△ABG≌△CBH（SAS），
∴∠GAB＝∠HCB＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝45°，
∴∠GAB+∠ADG＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∵AG＝，
∴AQ＝GQ＝1，
∴DQ＝，
∴DG＝GQ+DQ＝1+2．
24．（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE=OF，
∴O为EF的中点，
∵四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EH=FH，
又∵O为EF的中点，
∴OH⊥EF.
（2）解：过点F作 FG垂直BC，如图：
∵∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=∠C=90°，
∴则四边形FGCD为矩形.
∴CG=FD，FG=CD=AB=4.
由（1）得△AOF≌△COE，
∴AF=CE=BC-BE=8-1=7，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴FD=BE=1，
设EH=x，则FH=x，HC=7-x，
∴CG=FD=1，
∴HG=6-x.
∴在Rt△FHG中，FH2=HG2+FG2，
即x2=（6-x）2+42，
解得： ，
∴.
（3）解：连结AE，如图：
由对称得OA=OB1，
∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点，
∴AO=CO，
若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，
当点C，H，A1重合满足条件，
∵∠B=∠EB1C=90°，AB=B1C，BE=B1E，
∴△ABE≌△CB1E（SAS），
∴∠AEB=∠CEB1，AE=EC，
∵BE与EC共线，
∴点A、点E和点B1三点共线，
∵∠D=∠EB1C=90°，B1C=AB=DC，AC=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△AB1C（HL），
∴AD=AB1，
设BE=y，则AE=8-y，
∴在Rt△ABE中．AE2=AB2+BE2，
即 （8-y）2=42+y2，
解得y=3，
即BE=3.
（1）由矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，由已知条件得出AO=CO，由对顶角相等得出∠AOF=∠COE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等得△AOF≌△COE，全等三角形的对应边相等可得OE=OF，根据轴对称的性质得出∠1=∠3，等量代换可得出∠2=∠3，由等角对等边得EH=FH，再根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合即可得出结论；
（2）过点F作 FG垂直BC，根据矩形的性质和判定可得四边形FGCD为矩形，可得FG=CD=AB=4，CG=FD.根据全等三角形的对应边相等可得AF=CE=7，根据矩形的对边相等可得AD=BC，推得FD=BE=1，设EH=x，则FH=x，HC=7-x，根据矩形的对边相等可得CG=FD=1，再求出HG=6-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（3）连结AE，由对称得OA=OB1，根据题意得AO=CO，若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，当点C，H，A1重合满足条件，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠AEB=∠CEB1，AE=EC，推得A、E和B1三点共线，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得AD=AB1，设BE=y，则AE=8-y，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
25．（1）证明：≌，
，，
≌，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
四边形是菱形，
和互相垂直且平分，
设，则，，
，，
，
，
，
；
过点作于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（1）根据SAS证明，得到CD=CB，∠DCE=∠BCE，利用DE∥CB，得∠DEC=∠BCE，即可得到∠DEC=∠DCE，根据等角对等边，得DE=DC，进而得到DE=BC，可证得四边形BCDE为平行四边形，再结合一组邻边相等即可证得四边形BCDE是菱形；
（2）① 连接BD交CE于点H，利用菱形性质，结合勾股定理，即可求解；
②过点D作DM⊥AC于点M，利用勾股定理求得BD的长，利用等面积法求得DM的长，利用，，，得到，代入即可解得。
26．（1）证明：∵，
∴，
在平行四边形中，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，
在中，
∵
∴
由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
由平行四边形的中心对称性，得；
（3）解：当点落在边上时，如图2，
由折叠可知，，，
∵
∴
在平行四边形中，，
∴四边形是平行四边形
∴
在中，
∴
∴
当点落在边上时，如图3，连结交于点
由平行四边形的中心对称性，得，
由翻折，得，
∴，
∴，
在中，
∴
由勾股定理，得
当点落在边上时，如图4，连结交于点，
由折叠可知，则垂直平分，
由轴对称性可知垂直平分，
∴点与点重合
过点作的垂线交于点，
在中，，，
由勾股定理，得．
综上所述，点之间的距离为4或或．
（1）先证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，可知垂直平分，然后根据勾股定理依次求出AH，AE，AC和EO长，根据四边形的对角线互相平分解题即可；
（3）分情况：当点落在边上；当点落在边上，连结交于点；当点落在边上，连结交于点，根据平行四边形的性质和勾股定理解题即可．
27．（1）菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（1）先证明四边形是菱形，得到，即可得到，进而求得，可以得到，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）先判断四边形是正方形，过点P作，由平行得到，再根据三线合一得到，利用轴对称可得，即可得到，求出解题即可；
（3）先根据SAS得到，然后分为E在C右侧，E在B左侧，E在上三种情况利用全等三角的判定和性质解答即可．
（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，
∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
28．（1）证明：
在□ABCD中
AB//CD，AB＝CD
∴∠F＝∠FCD
∵E是AD中点
∴AE＝DE
在和中
∴≌（AAS）
∴AF＝CD
∴AF＝AB
（2）解：∵≌
∴EF＝CE
∵BE⊥CF∴BC＝BF
∵BF＝BA＋AF＝2BA∴BC＝2BA
∵AB与CD之间的距离为h1，AD与BC之间的距离为h2
∴AB·h1＝BC·h2
∴h1∶h2＝BC∶AB＝2∶1
（3）解：如图， 过点A作交于点N，过点D作交的延长线于点M，
在中，根据勾股定理可得，
在中，根据勾股定理可得，
在中，根据勾股定理可得，
，
，
，
，
，
故，
由（2）得：，
．
（1）根据平行四边形性质证明，再根据全等三角形性质可得；
（2）根据得出，证明，，设AB与CD之间的距离为h1，AD与BC之间的距离为h2，再根据面积公式得出，即可求解；
（3）在中，可得，在中，可得，在中，可得，再证明，得出，代换后可得，结合（2）中，即可得到答案.
29．（1）证明：∵DE=BF，AQ=BF，∴AQ=DE，
在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴四边形AQED为平行四边形
（2）解：如图1，过点A作CD的垂线，交CD延长线于点H，
连结AC，交EF于点O，
由轴对称性可知EF垂直平分AC，
在Rt△AHD中，∵∠HAD=90°-∠DAB=30°，∴HD=AD=2，
由勾股定理，得AH==，
在Rt△AHE中，由勾股定理，得AH2+HE2=AE2，
即12+(8-AE)2=AE2，解得AE=，
在Rt△AHC中，由勾股定理，得AC==，
在Rt△AEO中，由勾股定理，得EO==，
由平行四边形的中心对称性，得EF=2EO=
（3）解：当点G落在AB边上时，如图2，
由折叠可知FG=FB，HE=CE，∠EFG=90°，
∵DE=BF，∴FG=DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形DEFG是平行四边形，∴∠DGA=∠EFG=90°，
在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG=AD=2，
∴BG=AB-AG=4
当点G落在AD边上时，如图3，连结BD交EF于点O，
由平行四边形的中心对称性，得DO=BO，
由翻折，得GO=BO=DO，∴∠DGO=∠GDO，∠OGB=∠OBG，
∴∠DGB=90°，∠AGB=180°-∠DGB=90°，
在Rt△AGB中，∠GBA=90°-∠A=30°，∴AG=AB=3，
由勾股定理，得BG==.
当点G落在DC边上时，如图4，连结BG交EF于点O，
由折叠可知FG=FB=DE，则BG垂直平分EF，
由轴对称性可知EF垂直平分BG，
∴点G与点D重合.
过点D作AB的垂线交于点M，
在Rt△BGM中，BM=4，GM=，
由勾股定理，得BG==.
综上所述，点B，G之间的距离为4或或.
（1）先证明，再根据平行四边形的性质与判定即可得到答案；
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，根据勾股定理计算求解即可；
（3）分情况讨论：当点落在边上时，当点落在边上时，连结交于点；当点落在边上时，连结交于点，根据勾股定理、折叠的性质，分别求解即可．
30．（1）解：过点C作轴，交于点H，
∵，
∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴，
∴；
∴；
（2）解：如图所示，过点D作轴，，，同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴当时，，即点A向右平移个单位得到点，
∴即；
（3）解：分三种情况讨论，由（2）得点A向右平移个单位得到点，
∴，
∴，
当时，则且，
∴，，即，；
当时，此时点与点Q关于y轴对称，；
当为对角线时，此时，
设，
∴，
解得，即，且，
∴，即，
综上可得：点Q的坐标为或或或．
（1）过点C作轴，交于点H，设，证明，即可得到，，求出点C的坐标代入解题即可；
（2）利用（1）中方法得到点，然后根据平移的性可得点的坐标；
（3）分为；；为对角线；三种情况利用菱形和等腰三角形的性质，勾股定理解题．

展开更多......

收起↑