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2024-2025 学年山东省济南第三中学高一下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足( + 2)i = 1 i( 为虚数单位)，则 的模是( )
A. 3 B. 1 C. 2 D. 10
2.已知非零向量 , 满足 = 2 3 ，且 ⊥ 3 + ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. 2 5 6 3 3 D. 6
3.如图，水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = 1，
则四边形 的周长为( )
A. 6 2 B. 12 2
C. 8 D. 10
4.已知圆台的上，下底面的半径长分别为 2，3，母线长 2，则其体积为( )
A. 5 3 B. 19 3π3 C. 5 3π D. 10π
5.在 中， 为 边上一点，满足 ⊥ , = 2 , = 2，则 3 =( )
A. 32 B. 6 C.
2 D. 83 3
→ → →
6.已知向量 , 满足 = 3, = 3, 3 ，且 ⊥ + ，则 在 上的投影向量为( )
A. 3 3 , 9 B. 3 , 3 C. 3 34 4 2 2 2 , 2 D. 3, 3
7. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且(2 + )cos + cos = 0， = 2 3，若边 的中线长
等于 3，则 =( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 6 3
8.如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 为截面 1 1 上的动点，若 ⊥ 1 ，则点
的轨迹长度是( )
A. 22 B. 2 C.
1
2 D. 1
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1 3i.已知复数 = 1+i (i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A.复数 的虚部等于 2i B. = 5
C. + = 2 D.若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
10.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，则下列结论正确的是( )
A.若 > ，则 sin > sin
B.若 是锐角三角形，则 sin < cos
C.若 : : = 2: 3: 4，则 sin : sin : sin = 2: 3: 4
D.若 : : = 2: 3: 4，且 = 8 15，则 内切圆半径为 3
11.如图，棱长为 1 的正方体中 1 1 1 1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线 1 1与 1所成的角为60
B.直线 1 与平面 1 1所成的角为45
C.二面角 1 1平面角的正切值为 2
D.点 2 31到平面 1的距离为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3.设 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2， = 2 3，cos = 2 ，则 = ．
13.如图，在直三棱柱 1 1 1中， 是等边三角形， 1 = ， ， ， 分别是棱 1， 1，
的中点，则异面直线 与 1 所成角的余弦值是 ．
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14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球
冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球
缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图 1，一个球面的半径为 ，
1
球冠的高是 ，球冠的表面积公式是 = 2π ，与之对应的球缺的体积公式是 = 3π
2(3 ).如图 2，已
知 , 是以 为直径的圆上的两点，∠ = ∠ =
π
3 , 扇形 = 6π，则扇形 绕直线 旋转一周形
成的几何体的表面积为 ，体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1， 2在复平面内对应的点分别为 (2,3)， ( , 4)，其中 ∈ ．
(1)若 = 1，求 1 2 ；
(2)若 2是关于 的方程 2 + 2 + 17 = 0 的一个复数根，求 的值及 2．
16.(本小题 15 分)
如图，四边形 中， ⊥ , /\ !/ , = 6, = 2 = 4， ， 分别在 ， 上， /\ !/ ，
现将四边形 沿 折起，使 ⊥ ．
(1)若 = 3 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 //平面 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由．
(2)求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
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2
如图，在平行四边形 中， = 2， = 4，∠ = ， 为 中点，且 3 =
(0 ≤ ≤ 1)，.设 = ，
= ．
(1) 1当 = 2时，用 ，
表示 ， ；
(2)若 ⊥ ，求实数 的值；
(3)求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ， tan + tan = 3 cos ．
(1)求 的大小；
(2)已知 = 2 7， = 2，设 为 边上一点，且 为角 的平分线，求 的面积．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱台 中，∠ = 60°, ∠ = ∠ = 120°, = = 33 = 1．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)当点 到平面 1距离最大时，求三棱台 的体积．(注： ′ ′棱台 = 3 + + ，其中
是高， , ′分别是上下底面面积．)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 或 4
13. 510
14.72π + 36 3π； 144π
15.解：(1)由题意得 1 = 2 + 3i，
因为 = 1，所以 2 = 1 4i，
则 1 2 = 1 + 7i，
所以 1 2 = 1 + 49 = 5 2．
(2)(方法一)由题设得( 4i)2 + 2( 4i) + 17 = 0，
2
2 + 2 + 1 8( + 1)i = 0 + 2 + 1 = 0,即 ，则 8( + 1) = 0,
解得 = 1.故 2 = 1 4i．
(方法二)由题设得方程 2 + 2 + 17 = 0 的两根为 4i， + 4i，
则 4i + + 4i = 2，得 = 1，故 2 = 1 4i．
(方法三)由 2 + 2 + 17 = ( + 1)2 + 16 = 0，
得 + 1 =± 4i，即 = 1 ± 4i，所以 = 1，
故 2 = 1 4i．
16.解：(1) 上存在一点 ，使得 //平面 1，此时 = 2，
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1
理由如下：当 = 2时， =
1
3，
如图，过点 作 /\ !/ 交 于点 ，连接 ，
1
则 = = 3，
∵ = 3，∴ = 3，∴ = 1，又 = 1， /\ !/ /\ !/ ，∴ /\ !/ ，
故四边形 为平行四边形，∴ /\ !/ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
综上，存在点 ，使得 // = 1平面 ， 2．
(2)设 = ，则 = (0 < ≤ 4), = 6 ，
1 1 1
故 2 = 3 × 2 × 2 × (6 ) × = 3 ( 3) + 3，
∴当 = 3 时， 有最大值，且最大值为 3，
∴此时 = 1， = 3， = 3， = 2 2，
∴ = 2 + 2 = 3 2， = 2 + 2 + 2 = 14，
在 18+8 14 1中，由余弦定理得 cos∠ = 2×3 2×2 2 = 2，sin∠ =
3
2 ，
1 = 2 sin∠ = 3 3，
设 到平面 的距离为 ，
1 = ，3 = 3, = 3．
综上，三棱锥 的最大值为 3，此时点 到平面 的距离为 3．
17. 1解：(1) = 2 + =
1 2 ．
(2)若 ⊥ ，则 ⊥ ，

因为 = 12 +
， = ， = 2 × 4 × cos 3 = 4，
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则 = 12 + = 2 2 + 16 4 = 18 6 = 0，
所以 = 13．
(3))由题可得： = (1 ) + 12 ，
= (1 ) + 12 = 16
2 + 22 6，
∵ 0 ≤ ≤ 1 = 11 25，当 16时，
的最大值为16，
当 = 0 时，最小值为 6，
所以 ∈ 6, 2516 ．
18.解：(1)由正弦定理得：sin tan + sin tan = sin tan + tan = 3sin cos ，
∴ sin sin + sin = sin sin cos +cos sin sin sin( + ) sin sin 3sin cos cos cos cos = cos cos = cos cos = cos ，
∵ ∈ 0, π ，∴ sin ≠ 0 ∴ sin ， cos = tan = 3，又 ∈ 0, π ，∴ =
2π
3 ．
(2)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 2 + 2 = 28，解得： = 6(舍)或 = 4，
∵ cos = 1 ∴ sin = 3 ∴ = 12， 2 ， 2 sin =
1
2 × 2 × 4 ×
3
2 = 2 3；
∵ = + ，
∴ 12 sin

2 +
1
2 sin
1
2 = 2 ( + ) sin 2 = 3 sin
π
3 = 2 3，
∴ = 43，∴ =
1
2 sin
= 12 2 × 4 ×
4
3 ×
3 4 3
2 = 3 ．
19.解：(1)证明：在 3 1 1中，由正定理可得 3 = sin∠ sin∠ = 2，
2
由于∠ 为锐角，故∠ = π π6，故∠ = 6，所以 = 1,
由∠ = 60°,所以 = = 1,．
又∠ = ∠ = 120°, = 1，所以 = 2 + 2 2 sin 2π3 = 3，
所以 = = 3，
取 中点 ，连接 , ，则 ⊥ , ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥平面 , 平面 , ⊥ ，
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由三棱台的性质可知 /\ !/ ，所以 ⊥ ．
(2)由三棱台的性质可知 /\ !/ ，所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角．
由 ⊥平面 ， 平面 ，可知平面 ⊥平面 ，且两平面的交线为 ，
作 ⊥ ，连接 ，则∠ 即为直线 与平面 所成角．
在 中， = 3 3 2 2 1 112 = 2 , = = 3 4 = 2 ，
2 2 2
余弦定理可得 cos∠ = + 5 332 = 33 ，
sin∠ = 2 66故 33 , = sin∠ =
22
11 ，
所以 sin∠ = = 22 22 11 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 11 ．
(3)取 中点 ，连接 , ， ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
故 ⊥平面 时， 到平面 距离最大．
2 2 2
可以算得 cos∠ = + 32 = 3 , = + cos∠ =
5 3
6 ,
= = 53 3 , = sin∠ =
6
3 ， ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
2
故 ⊥平面
故 3 25 3 49 2 = 4 , = 36 , = 108 ．
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