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2024-2025 学年天津市第二十一中学高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为实数，若复数 = ( 2 4) + ( + 2) 为纯虚数，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i
2.已知向量 = (1,2), = (2, 2), = ( , 1)，若 ⊥ 2 + ，则 等于( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
3.如图，在 中， = 1 2 ，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 + 3 C. 1 + 2 D. 2 + 1 2 2 4 4 3 3 3 3
4.正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是( )
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8 2
5.已知两个不重合的平面 ， ，三条不重合的直线 ， ， ，则下列四个命题中正确的是( )
A.若 /\ !/ ， ，则 /\ !/
B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 /\ !/
C. /\ !/ ， ， ， ，则 /\ !/
D. /\ !/ ， ， ∩ = ，则 /\ !/
6.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法中错．误．的是( )
A.若 > ，则 >
B. sin( + ) = sin
C.若 cos = cos ，则 为等腰三角形
D.若 2 + 2 < 2,则 是钝角三角形
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7.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 3，则四棱锥 1 1 1 的体积是( )．
A. 2 3 B. 2 10 C. 4 23 D. 4 6
8.若某正四面体的内切球的表面积为 4π，则该正四面体的外接球的体积为( )
A. 9π B. 27π C. 36π D. 64π
9.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 = 2 3， sin sin + 2 3 = sin + sin ，
则 外接圆的面积为( )
A. π B. 3π C. 4π D. 5π
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10. 3+4i是虚数单位，则∣ 1+i ∣ = ．
11.在 中， , , 所对的边分别为 , , ，若 = 3, = 45 , = 75 ，则 = ．
12 2 2.已知圆锥的底面周长为 ，其侧面展开图的圆心角为3π，则该圆锥的高为 ．
13.已知 = 2, = 2, 2 3 , = 4，则向量 在向量 上的投影向量坐标为 ．
14.如图，在棱长都相等的正三棱柱 1 1 1中，若 为棱 1的中点，则直线 1与直线 所成的角
为 ．
15 π 3.在 中，∠ = ，3
= 2 ， 为 上一点，且满足 = + 5
( ∈ R)，则 的值为 ；
若 = 3， = 4，则 的值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
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已知复数 1 = 3 + 4 ， 2 = 2 ， 为虚数单位．
(1)求 1 2
(2) = 若 1 ，求 的共轭复数；2
(3)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知向量 ， 满足| | = 2， = ( 3, 3)．
(1)求| |；
(2)若 与 同向，求 的坐标；
(3)若| 2 | = 2 7，求 与 的夹角．
18.(本小题 15 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 2 ， 2sin = 3sin ．
(1)求 sin 的值；
(2) π求 cos 2 + 6 的值；
(3)若 3 7的面积为 2 ，求 的值．
19.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 为 的中点， // , ∠ = 90°， = = =
1, = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为 三边 ， ， 所对的角，向量 = sin , sin ， = cos , cos ，且 = sin2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 sin + sin = 2sin ，且 = 18，求边 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.5 2 52 /2 2
11. 2
12.2 2
13.( 1 , 32 2 )
14.90°/π2
15. 110/0.1；
16.解：(1) 1 2 = 2 (3 + 4 ) = 8 6i
(2) ∵ 1 = 3 + 4i， 2 = 2i，
∴ = 1 = 3+4i 2i =
(3+4i)i 3
2 2i2
= 2 + 2 i，
∴ = 2 32 i．
(3) ∵ 1 + 2 = 3 + 4 i 2i = 3 + (4 2)i 在复平面上对应的点在第四象限，
∴ 3 > 04 2 < 0，解得 0 < <
1
2，
故实数 1的取值范围为 0, 2 ．
17.解：(1)由 = ( 3, 3)，得| | = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3．
(2)由 与 2 1同向，令 = ( > 0)，则| | = | |，而| | = 2，解得 = 2 3 = 3，
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所以 = ( 3 , 3 ) = (1, 3)．
2
(3)由| 2 | = 2 7，得 2 4 + 4 = 28，即 4 4 + 4 × 12 = 28，解得 = 6，
因此 cos ,
= 6 3 = 2×2 3 = 2 ，而 0 ≤ ,
≤ π，则 , = π，
| || | 6
所以 π与 的夹角是6．
18.解：(1)因为 2sin = 3sin ，所以 2 = 3 ，而 = 2 ，
2
∴ cos = +
2 2 2
2 = 4 ，0 < < π，
∴ sin = 1 cos2 = 144 ；
(2)由(1)sin2 = 2sin cos = 74 ，cos2 = 2cos
2 1 = 34，
cos 2 + π 3 16 = 2 cos2 2 sin2 =
3 3+ 7
8 ；
(3)由(1) = 1 2 sin =
3 7
2 ，则 = 6 2，又 2 = 3 ，则 = 2，
又 = 2 ，则 = 4．
19.解：(1)如图：取 的中点 ，连接 , ，
则 // = 1，且 2 ，又 // 且 =
1
2 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
由题设易知 1为直角梯形，且∠ = ∠ = 90°， = 2
则 2 = 2 + 2 = 2，所以 = 2，
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因为 = = 1，∠ = 45°，所以∠ = 45°，
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(3)如图：取 的中点 ，连接 ，
则 // ，由(2)知 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角．
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = 1 3 1 2 2 2 52 = 2 , = 2 = 2 ，又 = + = 2 ，
2
所以 sin∠ = 2 10 = = ．5 5
2
10
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
20.解：(1)由已知得 = sin cos + cos sin = sin( + )．
因为 + + = π，所以 sin( + ) = sin π = sin ，
所以 = sin ．
又 = sin2 ，所以 sin2 = 2sin cos = sin ，
∵ 0 < < π，则 sin ≠ 0
所以 cos = 12 .又 0 < < π，
π
所以 = 3；
(2)由已知 sin + sin = 2sin 及正弦定理得 2 = + ．
因为 = = 18，所以 cos = 18，所以 = 36．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，
所以 2 = 4 2 3 × 36，所以 2 = 36，
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所以 = 6．
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