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2024-2025学年山东师范大学附属中学高一下学期4月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
2.欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知平面向量，若，则实数( )
A. B. C. 或 D.
5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为( )
A. B. C. D.
6.在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一个棱柱至少有个面
B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C. 若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面
D. 若平面内任意条直线和平面平行，则平面平面
10.已知为虚数单位，则下列结论中不正确的是( )
A. 复数的虚部为 B.
C. 若为复数，则为实数 D. 若为复数，则
11.在正四棱柱中，，、分别为棱、的中点，点满足，，动点在矩形内部及其边界上运动，且满足，点在棱上，将绕边旋转一周得到几何体，则( )
A. 以正四棱柱的上下底面的内切圆为底且与正四棱柱等高的圆柱的侧面积，与正四棱柱的外接球的表面积之比为
B. 动点的轨迹长度为
C. 存在，，使得平面
D. 当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标设点的斜坐标为，则 ．
13.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，侧棱长为，则此三棱台的体积是 ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ；若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中．
设，若是纯虚数，求实数的值；
设，分别记复数在复平面上对应的点为、，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为．
求四棱锥的体积；
判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
17.本小题分
在中，在边上，且平分，若，
证明：；
求的面积；
求的长．
18.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点．
求证：平面；
已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，
求证：；
求证：平面．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，．
求；
在中，若，是的中点，，设与相交于点求的值；
若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值．
参考答案
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15.【详解】，因为是纯虚数，
所以且，解得；
当时，，故，
，故．
设，则；
所以在上的数量投影向量为．
16.【详解】三棱柱的体积，
三棱锥的体积为
所以四棱锥的体积．
为直角三角形，
理由：由题意得，，，
从而，即，可得为直角三角形，
所以，
所以
，
因此几何体的表面积为．
17.【详解】
证明：在中，在边上，且平分，
所以，，，
在中，，
在中，，
两式作比值可得，，
化简得．
因为平分，所以，
设，由余弦定理，得，
即，解得．
由，得，
解得，所以．
18.【详解】因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
连接，交于，连接，如下图：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面平面，
所以．
连接，如下图：
易知，显然平面，平面，所以平面；
同理可得，即平面；
又，所以平面平面，
又因为平面，
所以平面．
19.【详解】由正弦定理得，则，即，
又，则，
则，
即．
方法一：
以，为基底，设，，则，，；
所以；
，
；
则．
方法二：
以点为坐标原点，为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，如下图：
易知，，，，，
则，；
可得
设外接圆半径为，则，且，
即，如下图所示：
因为，
所以，
所以，
由，解得，
所以，
令，
则，
所以当时，取得最大值．

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