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2024-2025 学年江苏省常州市田家炳高级中学高一下学期期中联合调
研数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知 2 + i = 1 i，则| | =( )
A. 10 B. 10 C. 52 5 2 D.
5
5
2.在 中，若 cos + cos = sin ，则 的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3 π.已知4 ≤ ≤ π，π ≤ ≤
3π
2，sin2 =
4
5，cos( + ) =
2
10，则 =( )
A. 3π B. π C. 5 π4 4 4π D. 2
4.已知在 4 3中，角 , , 所对的边分别为 , , ，满足 2 + 2 2 = 3 ，则下列条件能使
成为锐角三角形的是( )
A. = π6 B. = 2, = 4 C. = 3, = 2 D. = 2, = 3
5.已知 sin( ) = 1 13，且 sin cos = 6，则 cos(2 + 2 ) =( )
A. 59 B.
1
9 C.
1
9 D.
4
9
6.计异下列合式的值，结果为 2 的是( )
A. tan75 + tan60 B. 1sin15 cos15
C. 1 + tan20 1 + tan25 D. 1 3cos80 sin80
7.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示， = 2, = 1, ∠ = 45 .点
在线段 与线段 上运动，则 的取值范围为( )
A. [ 4,6] B. [0,6] C. [0,8] D. [4,8]
8. 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 sin = 2sin cos , = 2 3则 面积的最大值为( )
A. 12 B.
3
2 C. 1 D. 2
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二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.下列说法中正确的有( )
A. ≤
B.已知 在 1上的投影向量为 2
且 = 5，则 = 52
C.若非零向量 ， 满足 = = 则 与 + 的夹角是 30°
D.已知 = (1,2), = (1,1)，且 与 + 5夹角为锐角，则 的取值范围是 3 , + ∞
10.下列命题中正确的是( )
A. 1若复数 满足 ∈ R,则 ∈ R
B.若 为复数，则 2 = ∣ ∣2必成立
C. = 1 3若复数 2 + 2 i,则
18 = 1
D.若复数 满足| | = + i + 1，则 为纯虚数
11 3.已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 = 4， = , tan ， = tan , ， = 3cos ，
则( )
A. = 5π6
B. 的外接圆面积为 16π
C. = 3若 4
，∠ = ∠ = 8 13，则 13
D. 3若 = 4 ，∠ = ∠ ，则 sin∠ =
13
13
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.已知 1 = 4 + 1 + 2 2 + 3 i, 2 = 2 + 2 + i，其中 ∈ R， 1 > 2，则 的值为 ．
13.设平面向量 = (1,0), = 1, 3 ,若 , = , ,则平面向量 的坐标是 . (写出其中一个 的坐标)
14 tan tan2 4.已知 = ,则sin4 + cos4tan tan2 5 =
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15 5.已知复数 = 1+2i+ 1 + i， 为虚数单位．
(1)求 ；
(2)若复数 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，求实数 ， 的值．
16.若已知向量 = cos , sin ， = cos + 2 3sin , sin ，设函数 ( ) = ．
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(1)若 // 且 ∈ 0, π ，求角 的大小；
(2) π 6已知 ， 均为锐角， + 6 = 5，sin( ) =
5
13，求 sin( + )的值．
17.记 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = 2 ，2sin( ) = sin .
(1)求 sin ;
(2)设 = 10，求 边上的高．
18.如图，在 中，已知 = 2, = 4, ∠ = 60°， 是 的中点， 是 上的点，且 = ， ,
相交于点 .设 = , = ,
(1)若 ⊥ ，求 的面积;
(2)若 = 13 ,求 cos∠ 的值．
19.中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，这
一数也可以表示为 2 18°.三倍角公式是把形如 sin3 , cos3 等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广
泛应用于数学、物理、天文等学科．
(1)已知 cos3 = 4cos3 3cos ，试证明此三倍角公式；
(2) cos3 1 sin3 若角 满足 cos = 2，求 sin 的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 2sin18 .
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13. 1, 3 (答案不唯一)
14.1725/0.68
15. 5 5 1 2i 5 1 2i解：(1)因为复数 = 1+2i+ 1 + i = 1+2i 1 2i + 1 + i = 1 4i2 + 1 + i = 1 2i + 1 + i = 2 i，
所以 = 2 + i
(2)因为复数 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，
所以 2 i 2 + 2 i + = 0，
可得 4 4i + i2 + 2 i + = 0，即(3 + 2 + ) ( + 4)i = 0，
3 + 2 + = 0
所以 + 4 = 0，解得 = 4, = 5．
16.解：(1) ∵ // ，
∴ cos sin sin cos 2 3sin = 0，
∴ sin 2cos + 2 3sin = 0，
∵ ∈ (0, )，
∴ sin ≠ 0，
∴ 2cos + 2 3sin = 0，
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∴ 4sin + π6 = 0，
∴ sin + π6 = 0，
∵ ∈ 0, π ，
∴ + π6 ∈
π
6 ,
7
6π ，
π
∴ + 6 = π
∴ = 56π；

(2) ( ) = = cos2 + 2 3sin cos sin2
= 3sin2 + cos2 = 2sin 2 + π6 ，
∴ + π6 = 2sin 2 +
π
2 = 2cos2 =
6
5，
∴ cos2 = 35，
∵ ∈ 0, π2 ， ∈ 0,
π
2 ，
∴ 2 ∈ 0, π ， ∈ π , π2 2 ，
∴ sin2 = 45，
∵ sin( ) = 513 < 0，
∴ ∈ π2 , 0 ，
∴ cos( ) = 1213，
∴ sin( + ) = sin 2 ( ) = sin2 cos( ) cos2 sin( ) = 4 12 3 5 635 × 13 + 5 × 13 = 65．
17.解：(1)在 中，
2 2 2
∵ 2 + 2 2 = 2 ∴ cos = + = 2 2， 2 2 = 2 ，
而 为三角形内角，∴ = 4 .
∵ 2sin( ) = sin ，
∴ 2sin 4 = sin
3
4 ，
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2
整理得 2 sin cos = 2 cos + sin ，得 sin = 3cos ，
又sin2 + cos2 = 1 3 10，且 sin > 0，∴ sin = 10 .
(2) 由正弦定理得sin = sin ，

得 = sin × sin =
10
2 ×
3 10
10 = 6 5，
2
(1) 3 10 10由 得，sin = 10 , tan > 0，cos = 10 ，
∴ sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2 55 ，
2 5设 边上的高为 ，则 = × sin = 6 5 × 5 = 12，
∴ 边上的高为 12.
18.解：(1)因为 ⊥ ，所以 ⊥ ．
因为 = 1 1 2 + 2 ，
= = + ，
所以
2
= 1 1 2 + 2 +
= 1 2 1 1 1 2 + 2 + 2 2 ，
又因为 2 =
2
= 4,
2
=
2
= 16, = 2 × 4 × cos60 = 4，
所以， = 12 × 4 +
1 × 16 + 1 12 2 2 × 4 = 10 4 = 0
2
，解得 = 5．
所以， = 2 85 ，则 = 5，
1 1 8 3 4 3所以 = 2 × × × sin60 = 2 × 2 × 5 × 2 = 5 ．
(2)易知 = 1 + 1 2 2 ,
= + = + 13
，
则 = 1
2
+ 1 = 1 + 1
2
+ 1 · 2 2 4 4 2 = 1 + 4 +
1
2 × 2 × 4 ×
1
2 = 7，
= + 1 =
2
+ 1
2
2 · = 4 + 16 2 1 2 73 9 3 9 3 × 2 × 4 × 2 = 3 ，

2 2
= 12
+ 12
· + 1 = 1 1 · + 1 = 1 × 4 1 × 4+ 163 2 3 6 2 3 6 =
2
3，
所以．
19. (1)证明见解析
19.解：(1)由 cos3 = cos(2 + ) = cos2 cos sin2 sin
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= (2cos2 1)cos 2sin2 cos = 2cos3 cos 2(1 cos2 )cos
= 2cos3 cos 2cos + 2cos3 = 4cos3 3cos ，得证；
(2) (1) cos3 2 1 5由 知 cos = 4cos 3 = 2，可得cos
2 = 8，
又 sin3 = sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin
= 2sin cos2 + (1 2sin2 )sin = 2sin 1 sin2 + (1 2sin2 )sin
= 2sin 2sin3 + sin 2sin3 = 3sin 4sin3 ，
sin3
故 sin = 3 4sin
2 = 3 4(1 cos2 ) = 4cos2 1 = 32
(3)由 cos54 = sin36 ，则 cos(3 × 18 ) = sin(2 × 18 )，
所以 4cos318 3cos18 = 2sin18 cos18 ，则 4cos218 3 = 2sin18 ，
所以 4sin218 + 2sin18 1 = 0 5 1，可得 sin18 = 4 (负值舍)，
所以 2sin18 = 5 12 ．
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