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2024-2025 学年江苏省无锡市青山高级中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面 ，直线 ， ，如果 /\ !/ ，且 /\ !/ ，那么 与 的位置关系是( )
A.相交 B. /\ !/ 或 C. D. /\ !/
2.若复数 = 2 4 + ( 2)i 为纯虚数，则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 或 2 C. 2 D. 4
3.已知 ， 是平面内两个不共线向量， = + 2 ， = 3 ， ， ， 三点共线，则 =( )
A. 23 B.
2
3 C. 6 D. 6
4.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中 ′ ′ =
4, ′ ′ = 1，那么 的面积为( )
A. 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2
5.如图，在 中，已知∠ = 45°， 是 边上的一点， = 5， = 7， = 3，则 =( )
A. 4 3 B. 5 2 C. 2 10 D. 5 62
6 4.若一扇形的圆心角为3π，面积为 6π，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为( )
A. 2 53 π B. 4 5π C.
4 5
3 π D.
5 5
3 π
7.在锐角 中，角 , , 所对的边分别为 , , .若 2 = cos 2 cos ，则 =( )
A. 13 B.
1
2 C. 1 D. 2
8.如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若
向量 = 1+ 2，则把有序数对( , )叫做向量 在坐标系 中的坐标，则该坐标系中 1, 1 和
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2, 2 两点间的距离为( )
A. 2 21 2 + 1 2 2 1 2 1 2 sin
B. 2 21 2 + 1 2 + 2 1 2 1 2 sin
C. 1 22 + 21 2 2 1 2 1 2 cos
D. 1 22 + 21 2 + 2 1 2 1 2 cos
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 i = 3+2i.已知 为虚数单位，复数 2 i，则以下为真命题的是( )
A. 在复平面内对应的点在第一象限
B. 7的虚部是 5
C. | | = 3 5
D.若复数 1满足 1 = 1，则
65
1 的最大值为 1 + 5
10.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法中正确的是( )
A.若 为锐角三角形，则 sin > cos
B.若 sin2 = sin2 ，则 为等腰三角形
C.若 > ，则 sin > sin
D.若 = 8， = 10， = 60 ，则符合条件的 有两个
11 1.如图所示的圆台 1 2，在轴截面 中， = = = 2 , = 4，则( )
A.该圆台的高为 1
B.该圆台轴截面面积为 3 3
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C. 7 3π该圆台的体积为 3
D.一只小虫从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所经过的最短路程为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等边 中， = 1，则 = ．
13.已知一个正方体的 8 个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为 ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的
三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心
(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角 外接圆的半径为 4，且三条圆弧沿 三边翻折后交于
点 .若 = 6，则 cos∠ = ；若 : : = 6: 5: 4，则 + + 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ∈ ，复数 = 2 + 3 + ( 1)i．
(1)若 在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围；
(2) + i若 满足 + 3 = + 4i， ∈ R，求| 3+4i |的值．
16.(本小题 15 分)
已知 = (2,1)， = ( 3,4)．
(1)设向量 ， 的夹角为 ，求 cos 的值；
(2)求向量 在向量 上的投影向量的坐标；
(3)若 // + ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
已知三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面，点 是 的中点．
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(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)若底面 为边长为 2 的正三角形， 1 = 3，求三棱锥 1 体积．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 = cos , cos ， = (2 + , )， = 0，
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 4， 3的面积为4 3，求 的周长．
19.(本小题 17 分)
如图所示，在 中， 在线段 上，满足 2 = ， 是线段 的中点．
(1) 延长 CO 交 于点 (图 1)，求 的值；
(2)过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， (图 2)，设 = ， = ．
( )求证 2 + 为定值；
( )设 的面积为 1，

的面积为 12，求 的最小值．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12/ 0.5
13.π2/ : 2
14.34/0.75
23
； 2
15.【详解】(1)复数 在复平面内对应的点为(2 + 3, 1)，
2 + 3 > 0 3由 在复平面内对应的点位于第四象限，得 1 < 0，解得 2 < < 1，
3
所以 的取值范围是 2 < < 1．
(2)依题意， + 3 = 2 + 3 + ( 1)i + 3[2 + 3 ( 1)i] = 4(2 + 3) 2( 1)i = + 4i，
4(2 + 3) =
又 , ∈ ，则 2( 1) = 4，解得 = 1, = 4，
+ i = 4 i = (4 i)(3 4i) 8 19i 8 193+4i 3+4i (3+4i)(3 4i) = 25 = 25 25 i，
| + i | = ( 8 )2 + ( 19 )2 = 17所以 3+4i 25 25 5 ．
16.【详解】(1)由 = (2,1)， = ( 3,4)，
得 = 6 + 4 = 2, = 5, = 5，

所以 cos = 2 2 5

= 5 5 = 25 ；
(2)向量 在向量 上的投影向量的坐标为
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2 (2,1) 4 2
= 5 × 5 = 5 , 5 ；
(3) = (5, 3), + = (2 3 , 1 + 4 )，
因为 // + ，
所以 5(1 + 4 ) + 3(2 3 ) = 0，解得 = 1．
17.【详解】(1)连接 1交 1 于点 ，连接 ，
∵四边形 1 1 是矩形，
∴ 为 1的中点，又 是 的中点，
∴ // 1，又 平面 1 , 1 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 ；
(2) ∵ = , 是 的中点，
∴ ⊥ ，
又 1 ⊥平面 , 平面 ，
∴ 1 ⊥ ,
∵ 1 ∩ = , 1, 平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 ，
则 是三棱锥 1 的高，
1
又 1 = 2 × 1 =
1
2 × 1 × 3 =
3
2 ,
∴ 1 1 = 1 = 3 1 =
1
3 ×
3
2 × 3 =
1
2．
18.【详解】(1) = cos (2 + ) + cos = 0，
由正弦定理边化角∴ cos 2sin + sin + sin cos = 0，
∴ 2cos sin + cos sin + sin cos = 0 即 2cos sin + sin( + ) = 0，
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∵ sin( + ) = sin ，∴ 2cos sin + sin = 0，
又 sin > 0，∴ cos = 12，∵ ∈ 0, π ，∴ =
2π
3
(2) ∵ =
1 3
2 sin = 4 3，∴ = 3，
2
∴ cos = +
2 2 ( + )2 2 2 16 6 2
2 = 2 = 6 =
1
2，
∴ 2 = 13，∴ = 13，
∴△ 的周长为 4 + 13．
19.【详解】(1)依题意，因为 2 = ，
所以 = + = + 1 = + 1 3 3 +
= 2 1 3 + 3 ，
1 1 1因为 是线段 的中点，所以 = = 2 3 +

6 ，
设 = = ，则有 3
+ 1 6
，

因为 , , 三点共线，所以3+
1 5
6 = 1，解得 = 2，
2 3 2
即 = 5 ，所以 = 5 ，所以 = 3；
(2)( )根据题意 = + = + = (1 + ) ，
同理可得： = (1 + ) ，
由(1)可知， = 1 = 1 + 1 2 3 6 ，
所以 = 1+ 3 +
1+
6
，
, , 1+ 1+ 因为 三点共线，所以 3 + 6 = 1，
化简得 2 + = 3，
即 2 + 为定值，且定值为 3；
( ) 1根据题意， 1 = 2 | || |sin ，
12 = 2 | || |sin =
1
2 (1 + )| |(1 + )| |sin ，
1
1 2| || |sin = = 1所以 2 1 (1+ )(1+ )
，
2(1+ )| |(1+ )| |sin
由( )可知 2 + = 3，则 = 3 2 ，
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1 = 1 = 1 = 1所以 2 (1+ )(1+3 2 ) 2 2+2 +4 2
，
2 12 +
9
2
= 1 2易知，当 2时，
1
有最小值，此时
1 = ．
2 2 9
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