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2024-2025学年四川省眉山市仁寿县部分学校高一下学期 4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 , ，化简 4 + 3 + 2( ) =( )
A. 3 2 B. 2 4 C. 6 + D. 4 +
2.sin65°cos35° cos65°cos55° =( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 32 2 2 2
3.已知函数 ( ) = sin + 4 + 是奇函数，则 的值可以是( )
A. 0 B. C. D. 3 4 2 4
4.函数 ( ) = tan2 的定义域为( )
A. ≠ π4 +
π
2 , ∈ B. ≠
π
4 + π, ∈
C. ≠ π2 +
π π
2 , ∈ D. ≠ 2 + π, ∈
5. ，点 在边 上， = 3 ，设 = , = ，则 =( )
A. 13 +
2
3
B. 2 + 1 3 3 C.
1 2 2 1
3 3 D. 3 3
6.某兴趣小组以某闰年春分为起始时间(已知春分时太阳直射点在赤道上)，测量了一整年内太阳直射点纬度，
并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬 23.44°，用
代表天数， 代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的
变化近似满足下列哪个函数( )
A. = 23.44sin 2π π365 B. = 23.44sin 183
C. = 46.88sin 2π365 D. = 46.88sin
π
183
7.已知 = + 5 ， = 2 + 8 ， = 3 3 ，则( )
A. 、 、 三点共线 B. 、 、 三点共线
C. 、 、 三点共线 D. 、 、 三点共线
8 .函数 = sin 2 sin 2 cos 2 的最大值是( )
A. 1 + 2 2 1+ 22 B. 1 2 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法中正确的是( )
A.若 与 都是单位向量，则 =
B.零向量的长度为零，方向是任意的
C.若 与 是平行向量，则 =
D.若 + = 0或 = 0，则 //
10.已知 , ∈ (0, )，sin + 6 =
5 4
13，cos 3 = 5，则 sin( ) =( )
A. 33 B. 63 C. 33 D. 6365 65 65 65
11.已知函数 ( ) = sin + π π6 ( > 0)的图象在 0, 2 上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有( )
A. 8 14的取值范围是 3 , 3
B.若 ( ) 5π π的图象关于点 18 , 0 对称，则 ( )在 0, 9 上单调递增
C. ( ) 0, π 1在 4 上的最小值可能为2
D.若 ( )的图象关于直线 = π3对称，且函数 ( ) = 2 ( ) + ， ∈ 0,
25π
24 有奇数个零点，则 3 ≤ ≤
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = sin( + ) + 2( > 0, | | < π)的图象的一部分如图所示，则 ( )的初相为 ．
13.已知 ( ) = 2sin 14， ∈ (0, π)恰有两个零点 1， 2，则 1 + 2 = ．
14 1.在边长为 4 的正方形 中， = , 4 =
，以 为圆心，1 为半径作半圆与 交于 ， 两点，
如图所示．点 为弧 上任意一点，向量 最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知 = 4， = 8， 与 的夹角是 120°．
(1)计算 2 ；
(2)当 为何值时， + 2 ⊥ ？
16.(本小题 15 分)
求下列各式的值：
π π
(1)sin12 cos12
tan22.5°
(2)
1 tan222.5°
π
(3)cos4 4
π
12 sin 12
17.(本小题 15 分)
如图，单位圆 与 轴的正半轴的交点为 2 21，点 ， 在圆 上，且点 位于第一象限，点 的坐标为 5 , 5 ，
∠ = ， 为正三角形．
(1)求cos2 12 3sin 2 cos 2 2的值；
sin π sin π+ sin 3π2 2 (2)化简 cos 2π cos π+ ，并求其值．
18.(本小题 17 分)

将函数 ( ) = 3sin + cos 3cos sin 的图象向右平移3个单位长度后可得到函数 ( )的图象．
(1)求函数 ( )的解析式及最小正周期；
(2)若 ∈ 0, 2 ，求 ( )的最大值及取得最大值时 的值．
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = sin + 3 cos +
1
2 sin 2 +
33 4 ．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2) 1 1 若 2 6 2 + 12 ≥ 2

对任意的 ∈ 4 ,

3 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3π4 /
3
4π
13. 14/ 0.25
14.24
15.解：(1) = 4， = 8， 与 的夹角是 120°，
则 = 4 × 8 × cos120° = 16，
2 2 2
即有 2 = 2 = 4 + 4 = 16 + 4 × 16 + 4 × 64 = 4 21；
(2)由 + 2 ⊥
2 2
可得 + 2 = 0，即 + (2 1) 2 = 0，
即 16 16(2 1) 128 = 0，解得 = 7.则当 为 7 时， + 2 ⊥ ；、
综上，(1) 2 = 4 21，(2) = 7．
16.解：(1)sin π12 cos
π 1 π 1
12 = 2 sin 6 = 4；
(2) tan22.5° 1 2tan22.5° 1 11 tan222.5° = 2 × 1 tan222.5° = 2 tan45° = 2；
(3)cos4 π sin4 π = (cos2 π + sin2 π )(cos2 π sin2 π ) = cos π12 12 12 12 12 12 6 =
3
2 ．
17. 解：(1)cos2 2 3sin 2 cos

2
1 1+cos 3
2 = 2 2 sin
1
2
= 12 cos
3
2 sin = cos +
π
3 ，
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由图知：角 + π 2 213对应的终边为 ，因为点 的坐标为 5 , 5 ，
π 2
且圆 为单位圆，由三角函数定义得 cos + 3 = 5．
sin(π )sin π+ sin 3π2 2 (2) sin cos ( cos )cos(2π )cos(π+ ) = cos ( cos ) = sin ．
其中 sin = sin + π π3 3 = sin +
π π π
3 cos 3 cos + 3 sin
π
3，
由(1)知：cos + π3 =
2
5 , sin +
π = 213 5 ，
所以 sin = 21 × 1 2 × 3 = 21 2 35 2 5 2 10 ．
18.解：(1) ( ) = 3sin + cos 3cos sin =
2sin cos + 3 cos2 sin2 = 2sin 2 + 3 ，
故将函数 ( ) = 2sin 2 + 3 的图象向右平移3个单位长度后得到的函数 ( )的图象对应的解析式为
( ) = 2sin 2 3 + 3 = 2sin 2

3 ，
∴ 2 函数 ( )的最小正周期 = 2 = ．
(2) 由 0 < < 2得 3 < 2
< 2 3 3，
∴ ( )max = 2，
2 此时 3 = 2，解得 =
5
12．
19. (1) ( ) = cos 1 sin + 3 cos + 1 1解： 化简得 2 2 2 2 sin2 +
3
2 cos2
3
4
1 3 1+ cos2 1 3 3
= 4 sin2 + 2 × 2 + 4 sin2 + 4 cos2 4
= 12 sin2 +
3
2 cos2 = sin 2 +

3 ，

令 2 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 +
5
2 , ∈ ，解得 12 ≤ ≤ +

12 , ∈
5
所以单调递增区间为 12 + , 12 + ， ∈ ．
(2)由(1) 1 1 可得 2 6 2 + 12 = sin cos ≥ 2，
≥ 2+cos ∈ 即 sin ，对任意的 4 , 3 恒成立，
≥ 2+cos 只需要 sin 即可，max
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2 2 2 2 2 2
2+cos 2 sin2 +2 cos

= 2
+ cos2 sin2 3 cos2 + sin2
sin =2sin2cos

2 2sin

2cos
，
2
sin
令 = 2 cos = tan 2，因为 ∈ 4 , 3 ，则2 ∈
,
2 8 6
，
3
所以 = tan 2 ∈ 2 1, 3 ，
2+cos 3+ 2 3
所以 sin = 2 = 2 + 2，
3 3
由对勾函数性质可得，当 ∈ 2 1, 3 时， = 2 + 2为减函数，
3 1
所以当 = 2 1 时， 2 + 2 = 2 2 + 1，max
所以 ≥ 2 2 + 1．
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