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2024-2025 学年广东省佛山市顺德区第一中学高二下学期期中教学质
量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列 满足 3 = 6，则其通项公式可能是( )
A. = ! B. = 2 C. = 2A2 D. = C2
cos π+
2.函数 ( ) = 2 的导数 ′e ( ) =( )
A. ( ) = cos sin e B. ( ) =
sin cos
e
C. ( ) = cos sin D. ( ) = sin cos e2 e2
3.在含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，则至少取到 1 件次品的不同方法数共有( )
A. C1C1 1 1 2 2 1 1 2 03 47 B. C3C49 C. C50 C3 D. C3C47 + C3C47
4.设 为等比数列{ }的前 项和，若 4 = 4， 3 = 2 + 2，则 1 =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
5.已知函数 ( ) = e 2在 ∈ (1,∞)单调递增，则实数 的取值范围是( )
2
A. ≤ 0 B. ≤ e e2 C. ≤ 1 D. ≤ 2
6.小明从 4 店购买了一辆价格为 25 万元的家用轿车，首付 11 万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，
还款方式为：每年年底还固定款项 2 万元以及余款的当年利息，年利率为 10%，直到全部还完为止．则购
买这辆车小明最后实际共花( )
A. 28.5 万元 B. 30.6 万元 C. 31.8 万元 D. 32.2 万元
7.现要从 6 名学生中选 4 名代表班级参加学校 4 × 100 接力赛，其中已确定甲跑第 1 棒或第 4 棒，乙和
丙 2 人只能跑第 2、3 棒，丁不能跑第 1 棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. 56 B. 60 C. 84 D. 120
8.若 = ln 4 1 33 , = 4 , = e 1，则 , , 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 中， 2 = 2， 6 = 32，下列说法正确的是( )
A.若 是等比数列，则 3 4 = 64 B.若 是等差数列，则 1 + 7 = 34
C.若 是等比数列，则 2、 6的等比中项 4为 8 D.若 是等差数列，则 2、 6的等差中项为 17
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10.有甲、乙、丙等 6 名同学，则下列说法正确的是( )
A. 6 人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为 240
B. 6 人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位(不一定相邻)，则不同的站法种数为 240
C. 6 名同学平均分成三组分别到 、 、 三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不
同的安排方法有 90 种
D. 6 名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则
不同的安排方法有 36 种
11.已知函数 ( ) = 2 2 + ln ，若 ( )有两个极值点 1, 2 1 < 2 ，则下面判断正确的是( )
A. 0 < < 12 B. 1 2 > 1
C. > 0 > 31 且 2 2 D. 1 + 2 < 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若C 2 +1 16 = C16 ∈ ，则 = ．
13.过点 (1,2)作曲线 : = 4 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为 ．
2
14 3 + .已知数列 的前 项和 = 2 ，数列 的前 项和

= 2 1，将 与 的公共项由小到大排
列构成新数列 ，则数列 的前 5 项和等于 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
+1
已知数列 满足 +11 = 2， +1 = 3．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = + 1 ，求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 1)e ．
(1)求 ( )的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数 = ( )的大致图象(不用说明理由)；
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(2) ( )+e求证： 2 > ln + 3．
17.(本小题 15 分)
+3 , 为奇数
已知数列 的前 项和为 ，且 = 2 ．
2 , 为偶数
(1)求 1、 2、 3的值．
(2)求数列的通项．
(3) 1求数列 的前 项和． +1
18.(本小题 17 分)
如图，将圆 沿直径 折成直二面角，已知三棱锥 的顶点 在半圆周上， ， 在另外的半圆周上，
⊥ ．
(1)若 ⊥ ，求证： ⊥ ；
(2)若 = 2，∠ = 30 ，直线 与平面 所成的角为45 ，求三棱锥 的体积．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ln + ∈ R, > 0 ．
(1) ( ) = ( )分析函数 的单调性．
(2)若 0 < ≤ 1，试问 ( )是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．
(3)若 ( )有两个零点，求满足题意的 的最小整数值．(参考数据：ln2 ≈ 0.693， e ≈ 1.649)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.2 + 8 = 0
14.682
15. (1) 【详解】 由 +1+1 +1 = 3，又 1 + 1 = 3，可得数列 + 1 是首项、公比均为 3 的等比数列，
故 + 1 = 3 ，∴ = 3 1
(2)由(1)可得 = 3 ，
则 = 1 31 + 2 32 + + 3 ，
所以 3 = 1 32 + 2 33 + + ( 1) 3 + 3 +1，
3 1 3 1 3
两式相减得 2 = 31 + 32 + 33 + + 3 3 +1 = +1 +1 1 3 3 = 2 3 2，
2 1 3
所以 = 3 +14 + 4
16.【详解】(1) ′( ) = e + ( 1)e = e ，
当 > 0 时， ′( ) > 0，当 < 0 时， ′( ) < 0，
即函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，在( ∞,0)上单调递减，
因此极小值为 (0) = 1，无极大值；
当 < 1 时， ( ) < 0；当 →+∞时， ( ) →+∞，且 (1) = 0，
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结合单调性，可画出函数 = ( )的大致图象，如下图所示：

(2) ( )+e要证 2 > ln + 3
e
，只要证 ln + 3 > 0，

令 ( ) = e ln + 3( > 0)，则
′( ) = e ( 1) 1 e + ( 1) 2 + 1 = 2 ，
则 ′( ) < 0 得 0 < < 1； ′( ) > 0 得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，

则 ( ) ≥ (1) = e 2 > 0 e，即 ln + 3 > 0 恒成立，
所以 ( ) > ln + 3．
17. (1) 1+3【详解】 由条件知 1 = 1 = 2 = 2，
2 = 2 1 =
2
2 ( 2) = 3， 3 = 3 2 =
3+3 2
2 2 = 4．
(2)当 为奇数且 ≥ 3 时， = =
+3
1 2
1
2 = 1， 1也符合，
所以当 为奇数时， = 1；
1+3
当 为偶数时， = 1 = 2 2 = + 1；
+ 1, 为偶数
所以数列 =
( + 1), 为奇数
(3) 1 1 1 1由题可知 +1 = ( + 1)( + 2)，所以 = ( +1)( +2) = +1 +2 ， +1
1 1 1+ 1 1 + 1 1 + + 1 1 1 1所以数列 的前 项和为 +1 2 3 3 4 4 5 +1
+2 = 2+ +2
18.【详解】(1)由题意知平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
⊥ ，且 平面 ，故 ⊥平面 ，
又 平面 ，故 ⊥ ；
又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
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故 ⊥平面 ，而 平面 ，
故 ⊥ ；
(2)以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴，过点 作平面 的垂线作为 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
由于 = 2，∠ = 30 ，则 (2,0,0)， 0, 3, 1 ，
设∠ = ，0 < < 180 ，则 0,2cos , 2sin ，
则 = (2,0,0)， = 0,2cos , 2sin ， = 2, 3, 1 ，

设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则 = 0 ,
= 0
2 = 0
即 2 cos + 2 sin = 0，令 = 1，则可得 = 0, tan , 1 ，
由于直线 与平面 所成的角为45 ，

故 sin45 = cos , = = 3tan +1 2

= ，
tan2 +1×2 2 2
解得 tan = 3，结合0 < < 180 ，则 = 60 ，
所以∠ = 90°，所以 = 2，
又 ⊥平面 ，
所以 1 1 4 = 3 | | = 3 2 2 = 3．
19. ( )【详解】(1)因为 ( ) = = ( )ln + 1， > 0

， ′( ) = ln + 1 ，
令 ( ) = ′( ) ′( ) = 1，则 +

2，
因为 > 0，所以 ′( ) > 0 恒成立，所以 ( )即 ′( )单调递增，
又 → 0 时， ′( ) → ∞， →+∞时， ′( ) →+∞．
所以存在 > 0，使得 ′0 ( ) = 0，
所以 ( )在 0, 0 上递减，在 0, + ∞ 上递增．
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(2) ( ) = ( )ln + 1 ， > 0，∴ ( )的零点个数与 ( ) = ( )ln + 1 的零点个数相同．
①当 = 1 时， ( ) = ( 1)ln + 1， ′( ) = ln + 1 1 ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
当 = 1 时， ( )取得最小值 (1) = 1 > 0．∴ ( )无零点，即 ( )无零点．
∈ (0,1) ′( ) = ln + 1 . ( ) = ln + 1 . ′( ) = 1 ②当 时， 令 又 + 2 > 0 恒成立，
∴ ′( ) = ( )在(0, + ∞)上单调递增．
′( ) = ln < 0， ′(1) = 1 > 0，故存在 ∈ ( , 1)，使得 ′1 1 = 0；
当 ∈ 0, 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ 1, + ∞ 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 = 1时， ( )取得最小值 1 = 1 ln 1 + 1. ( )
由 ′ 1 = ln 1 + 1

= 0，得 = 1 ln 1 + 1 ，代入 得 1 = 1 ln
2
1 + 1．
1
( ) 1 1 1若 有零点，则必有 1 ≤ 0，即 ln 21 ≥ ，也即 ln1
≥
1
．
1
令 ( ) = 2ln ， ′( ) = 2 1，当 ∈ (0,2)时，
′( ) > 0， ( )单调递增；当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) < 0，
( )单调递减．
( ) ≤ (2) = 2ln2 2 < 0 1 1，取 = ，∴ < 0，即 ln
1 < 1 恒成立，矛盾，故 ( )没有零点．1 1 1 1
综上所述，当 0 < ≤ 1 时， ( )没有零点．
(3)若 ( )有两个零点，则 ( ) = ( )ln + 1 有两个零点．
由(2)可知， > 1．
′( ) = ln + 1 在(0, + ∞)上单调递增，又
′(1) = 1 < 0， ′( ) = ln > 0，故存在 2 ∈ (1, )，使
得 ′ 2 = 0；
当 ∈ 0, ′2 时， ( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ 2, + ∞ 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 = 2时， ( )取得最小值 2 = 2 ln 2 + 1．
由 ′ 2 = ln 2 + 1

= 0，得 = 2 ln 2 + 1 ，2
代入 得 2 = 2 ln 22 + 1．
( )有两个零点，则必有 2 = 22 ln 2 + 1 < 0．
设 ( ) = 1 ln 2( > 1)， ′( ) = 2ln ln 2，当 > 1 时， ′( ) < 0 恒成立，
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( )在(1, + ∞)上单调递减， (2) = 1 2 ln2 2 > 0 > 2 ，∴ 2 < 2．
设 ( ) = ln + ( > 1)， ′( ) = 2 + ln .当 > 1 时， ′( ) > 0 恒成立， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
= 2 > (2) = 2 + 2ln2 ≈ 3.386．
下证当 = 4 时， ( )有两个零点． (1) = 1 > 0， 2 ≤ ( ) = 1 + 4 < 0， ( ) = 1 > 0．
∴ ( )在(0, + ∞)上有两个零点，即 ( )在(0, + ∞)上有两个零点．
综上所述， = 4 为满足题意的最小正整数值．
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