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2024-2025 学年广东省江门市广德实验学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 1 1 1.数列2，6，12，20，…的一个通项公式是( )
A. =
1 1 1 1 1
( 1) B. = 2 (2 1) C. = +1 D. = 1
2.将 3 封不同的信投到 4 个不同的邮箱，则不同的投法的种数为( )
A. 7 B. 12 C. 81 D. 64
3.已知C = C2 18 8 ，则 等于( )
A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或 4
4.若函数 ( ) = 13
3 ′(1) 2 ，则 ′(1)的值为( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. 1
5.“仁义礼智信”为儒家“五常”.由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智”不相邻的排法
有( )种．
A. 48 B. 36 C. 72 D. 96
6.若数列 满足 1 = 2， +1 = 1，则 2024 =( )
A. 12 B. 2 C. 3 D. 1
7 ( ) = ln .已知 ，则( )
A. (2) > ( ) > (3) B. (3) > ( ) > (2)
C. (3) > (2) > ( ) D. ( ) > (3) > (2)
8.中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小
棍子.如图，是利用算筹表示数 1 9 的一种方法.若规定 137 可表示为“ ”，26 可表示为“ ”，
现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字 0 的三位数的个数为( )
A. 10 B. 20 C. 36 D. 38
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
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A. e2 ′ = 2e B. (4 + 1)′ = 4
′
C. 2 = 12 D. sin
′ = sin + cos
8
10 .二项式 2 的展开式中 的系数是 7，则其中正确命题的序号是( )
A. = 1 62 B.展开式中含 项的系数是 4
C.展开式中含 1项 D.展开式中常数为 40
11.已知等差数列 的前 项和为 ( ∈ )，公差 ≠ 0， 6 = 90， 7是 3与 9的等比中项，则下列选
项正确的是( )
A. 1 = 22 B. = 2
C.当 = 10 或 = 11 时， 取得最大值 D.当 > 0 时， 的最大值为 20
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. ， ， ， 四人站成一排，其中 不站排头，共有 种不同站法．
13.在( + 1) 的二项展开式中，若各项系数和为 32，则 2项的系数为 ．
14.设等差数列 的前 项和为 ，且 10 = 10， 20 = 30，则 40 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在等差数列 中， 3 = 7， 6 + 7 + 8 = 3．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 及 的最小值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 + 1， ∈ ．
(Ⅰ)求函数 ( )的单调区间；
(Ⅱ)求函数 ( )在[0,2]上的最大值和最小值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 3 + = 4．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = ，求数列 的前 项和为 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 4 33
2 + 12 + 在 = 3 处取得极小值 2．
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(1)求实数 , 的值；
(2)若函数 = ( ) 有三个零点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知数列 满足 1 = 4，且 +1 = 3 2 + 1．
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2) 1在数列 中， 1 = 1， +1 = + ( +1)，求 的通项公式；
, 为奇数(3)记数列 满足 = ，求数列 的前 2 项和 2 ．
, 为偶数
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.10
14.100
15.解：(1)在等差数列 中， 3 = 7， 6 + 7 + 8 = 3
设数列 的公差为 ，
= + 2 = 7
则 3 1 6 +
,
7 + 8 = 3 1 + 18 = 3
解得 1 = 11， = 2．
∴ 的通项公式 = 11 + 2( 1) = 2 13．
(2)解：∵ 1 = 11， = 2．
∴ ( 1) 的前 项和 2 = 11 + 2 × 2 = 12
∴当 = 6 时， 取最小值为 36．
16.解：(Ⅰ) ∵ ( ) = 3 3 + 1，∴ ′( ) = 3 2 3．
当 ′( ) > 0，即 > 1 或 < 1 时，函数 ( ) = 3 3 + 1 单调递增．
令 ′( ) < 0，即 1 < < 1 时，函数 ( ) = 3 3 + 1 单调递减．
∴函数 ( )的单调递减区间是( 1,1)，单调递增区间是( ∞, 1)和(1, + ∞)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数 ( )在区间[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
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所以函数的极小值也为最小值 (1) = 13 3 × 1 + 1 = 1．
两端点 (0) = 03 3 × 0 + 1 = 1， (2) = 23 3 × 2 + 1 = 3，即最大值为 (2) = 3．
故函数 ( )在[0,2]上的最大值和最小值分别为 3 和 1．
17.解：(1)因为 3 + = 4①，当 = 1 时可得 3 1 + 1 = 4，即 1 = 1 ≠ 0，
当 ≥ 2 时，3 1 + 1 = 4②，
由① ②得 4 1 = 0( ≥ 2)，

即
1 1
= 4 ( ≥ 2)，即 是以 1 为首项，4为公比的等比数列， 1
1 1 1 1
所以 = 1 × 4 = 4 ；
1 0
(2) = = 1 = 1 × 1 + 2 × 1
1 1 2 1
因为 4 ，所以 4 4 + 3 × 4 + + ×
1
4 ，
1 1 1 1 2 1
4 = 1 × 4 + 2 × 4 + + ( 1) ×
1 1
4 + × 4 ，
3 1 0 1 = + 1 + 1
2 1
两式相减得，4 4 4 4 + +
1
4 ×
1
4 ，
1 1 1
3 1 ×
即4 =
4 4
1
1 4 4 1
1 4
= 3 + 3 4 ，
4
= 16 4

故 9 3 +
4 1
3 4 ．
18.解：(1)因为 ( ) = 4 33
2 + 12 + ，则 ′( ) = 4 2 2 + 12，
′
由题意可得 (3) = 36 6 + 12 = 0 = 8，解得 ,
(3) = 36 9 + 36 + = 2 = 2
当 = 8， = 2 时， ′( ) = 4 2 16 + 12 = 4( 1)( 3)，
显然，函数 ( )在 = 3 处可取得极值．
4
因此， ( ) = 3 8 23 + 12 2．
(2)解：问题等价于 ( ) = 有三个不等的实数根，求 的范围．
由 ′( ) = 4 2 16 + 12 = 4( 1)( 3) > 0，得 < 1 或 > 3，
由 ′( ) = 4 2 16 + 12 = 4( 1)( 3) < 0，得 1 < < 3，
所以 ( )在( ∞,1)、(3, + ∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
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则函数 ( )的极大值为 (1) = 103，极小值为 (3) = 2，如下图所示：
由图可知，当 2 < < 103，直线 = 与函数 ( )的图象有 3 个交点，
10
因此，实数 的取值范围是 2, 3 ．
19.解：(1) +1 = 3 2 + 1，
变形得： +1 ( + 1) = 3 3 = 3 ，
又 1 = 3 ≠ 0 ，故 +1 ( +1)1 = 3，所以 是首项为 3，公比为 3 的等比数列．
从而 = 3 ，即 = 3 + ．
(2) = 1 = 1 1由题意可得 +1 ( +1) +1，
1 1 1 1 1
所以当 ≥ 2 时， 2 1 = 1 2， 3 2 = 2 3， ， 1 = 1 ，
上式累加可得， 1 = 2 1 + 3 2 + + 1
= 1 1 1 1 1 1 12+ 2 3 + + 1 = 1 ，
1 2 1
又 1 = 1，所以 = 2 = ，
当 = 1 时， 1 = 1 满足上式，
2 1
所以 =
2 1, 为奇数
(3)由(1)、(2)知 = ,
3 , 为偶数
则在前 2 项中，
奇 = 1 + 3 + 5 + + 2 1
= + ( 1) 22 × 4 = 2 ，
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= + + + + = 2 32 + 4 34 + 6 36 + + 2 32 偶 2 4 6 2
= 2 9 + 4 92 + 6 93 + + 2 9
9 = 2 92 + 4 93偶 + 6 9
4 + + 2 9 +1，
作差得
8 = 2 9 + 2 92 + 2 93偶 + 2 9
4 + + 2 9 2 9 +1
18 1 9 = 1 9 2 9
+1．
+1
偶 =
(8 1)9 +9
32 ．
+1
从而 22 = 2 +
(8 1)9 +9
32 ．
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