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2024-2025 学年广东省东莞市济川中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( )可导，且满足 lim (3) 3+Δ Δ = 2，则函数 = ( )在 = 3 处的导数为( )Δ →0
A. 1 B. 2 C. 1 D. 3
2.已知曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程是 = 2 + 8，则 (1) + ′(1)的值为( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
3 3.已知 ( ) = 10， ( ) =
3
5，则 ( | )等于( )
A. 9 B. 1 C. 9 D. 150 2 10 4
4.随机变量 的分布列如表：则 =( )
1 0 1
0.3 0.5
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6
5.函数 ( ) = sin 在 ∈ [0,2π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. ( )是定义在 上的可导函数，且满足 ′( ) + ( ) > 0.对任意正数 , ，若 > ，则必有( )
A. ( ) > ( ) B. ( ) > ( ) C. ( ) < ( ) D. ( ) < ( )
7.已知点 ( , )是曲线 = 2上的一动点，则点 ( , )到直线 2 4 = 0 的距离的最小值为( )
A. 5 2 5 3 5 35 B. 5 C. 5 D. 5
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8.已知函数 ( ) = ( + 1)e ， ( ) = 有 2 个实数解，则 的取值范围是( )
A. 1 1 1e2 , 0 B. e2 , 0 C. e2 , + ∞ D. (0, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导正确的是( )
A. 2 3 3 2 + 5 ′ = 6 2 6 B. e + ln ′ = e + 1
′ ′
C. cos 1 4 43 = 3 sin 3 D. 2 +1 = ( +1)2
10.有 3 台车床加工同一型号的零件．第 1 台加工的次品率为 6%，第 2，3 台加工的次品率均为 5%，加工
出来的零件混放在一起，已知第 1，2，3 台车床的零件数分别占总数的 25%，30%，45%，则下列选项正
确的有( )
A.任取一个零件是第 1 台生产出来的次品概率为 0.015
B.任取一个零件是次品的概率为 0.0525
C. 2如果取到的零件是次品，则是第 2 台车床加工的概率为7
D. 2如果取到的零件是次品，则是第 3 台车床加工的概率为7
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解
九章算法》一书中就有出现，比欧洲早 393 年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1
外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和.则下列命题中正确
的是( )
A.第 行所有数之和为：2
B.第 7 行中从左到右第 5 个数与第 6 个数的比为 5: 2
C. 22 + 23 + 24 + 25 + + 212 = 286
D.由“除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为：C = C 1 +1 + C
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.( + )(2 3 )5的展开式中 3 3的系数是 ．
13.2025 的正因数有 个．
14 ln .已知函数 ( ) = ，若 ( ) <
1
在(0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)计算C47 + A34；
(2)已知(3 1)4 = 0 + 1 + 2 2 + 3 43 + 4 ，
求① 0 + 1 + 2 + 3 + 4的值．
② 0
16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 3
3 + 2．
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)求函数 ( )的极值．
17.(本小题 15 分)
现有大小相同的 8 个球，其中 2 个标号不同的红球，3 个标号不同的白球，3 个标号不同的黑球．(结果用
数字作答)
(1)将这 8 个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排法？
(2)将这 8 个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排法？
(3)若从 8 个球中任取 4 个球，且各种颜色的球都被取到，有多少种取法？
18.(本小题 17 分)
(1)化简：(2 + 1)5 5(2 + 1)4 + 10(2 + 1)3 10(2 + 1)2 + 5(2 + 1) 1．
(2)①用二项式定理证明1110 1 能被 100 整除；
②求9192被 100 除所得的余数．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = ln ， ( ) = ， ≠ 0．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若 > 0 且 ( ) ( )恒成立，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 360
13.15
14.(1, + ∞)
15.(1)C47 + A3 =
7×6×5×4
4 4×3×2×1 + 4 × 3 × 2 = 59；
(2)①(3 1)4 = + + 2 + 3 + 40 1 2 3 4 中，令 = 1 得
(3 1)4 = 40 + 1 + 2 + 3 + 4，故 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 2 = 16；
②(3 1)4 = 0 + + 2 + 31 2 3 + 44 中，令 = 0 得(0 1)4 = 0，
故 0 = 1．
16.(1) 1由 ( ) = 3 23 + 得
′( ) = 2 + 2 ，所以 ′(1) = 1 + 2 = 1，
又 (1) = 1 + 1 = 2 23 3，因此曲线 = ( )在点 1, 3 处的切线的斜率为 1，
切线方程为 23 = 1 × ( 1)，即 3 3 1 = 0；
(2)令 ′( ) = 2 + 2 = 0，解得： = 0 或 2．
当 < 0 或 > 2 时， ′( ) < 0，当 0 < < 2 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞,0)，(2, + ∞)内是减函数，在(0,2)内是增函数．
因此函数 ( )在 = 0 处取得极小值 (0)，且 (0) = 0，
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4
函数 ( )在 = 2 处取得极大值，且 (2) = 3；
综上： ( )的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为( ∞,0)，(2, + ∞)，
4
极小值为 0，极大值为3．
17.(1)把相同颜色的球看成一个整体，故 3 种不同的颜色球有A33种排法．
2 个不同标号的红球的位置可以变换，有A22种排法；同理，3 个不同标号的白球之间有A33种排法，3 个不同
标号的黑球之间有A33种排法．
故不同的排法的种数为A22A3 3 33A3A3 = 432．
(2)先把除黑球外的 5 个球全排列，共有A55种排法，
再把 3 个黑球插入上述 5 个球中间的 4 个空当，有A34种排法，
故共有A5 35A4 = 2880 种排法．
(3)从 8 个球中任取 4 个球，且各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色的球取 2 个球，其余颜色的球各取
1 个，
故不同的取法总数为C2 12C3C13 + C1 2 12C3C3 × 2 = 45
18.(1)(2 + 1)5 5(2 + 1)4 + 10(2 + 1)3 10(2 + 1)2 + 5(2 + 1) 1
= C05(2 + 1)5 C15(2 + 1)4 + C25(2 + 1)3 C35(2 + 1)2 + C45(2 + 1) C55(2 + 1)0
= (2 + 1) 1 5 = (2 )5 = 32 5．
(2)①1110 1 = (10 + 1)10 1
= C0 1010 + C1 9 2 810 1010 + C1010 + + C8 21010 + C91010 + 1 1
= C0 1010 + C1 109 2 8 8 210 10 + C1010 + + C1010 + 100，
显然1110 1 能被 100 整除；
②9192 = (90 + 1)92
= C0 9092 + C1 9091 292 92 + C929090 + + C9092902 + C919290 + 1
= C0 9092 + C1 909192 92 + C2 90 909290 + + C92902 + 8200 + 81，
所以9192被 100 除所得的余数为 81．
19.(1) ′( ) = 1 1 = ( ≠ 0)，
当 < 0 时，由于 > 0，所以 ′( ) > 0 恒成立，从而 ( )在(0, + ∞)上递增；
> 0 0 < < 1 ′( ) > 0 > 1当 时， ， ； ，
′( ) < 0，
1 1
从而 ( )在 0, 上递增，在 , + ∞ 递减；
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综上，当 < 0 时， ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，没有单调递减区间；
当 > 0 1 1时， ( )的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , + ∞ ．
(2)令 ( ) = ( ) ( ) = ln 2 ，要使 ( ) ( )恒成立，
只要使 ( ) ≤ 0 恒成立，也只要使 ( )max ≤ 0．
′( ) = 1 + 2 = ( +1)( 2) 2 2 ，
由于 > 0， > 0，所以 + 1 > 0 恒成立，
当 0 < < 2 ′ 2 ′ 时， ( ) > 0，当 < < +∞时， ( ) < 0，
( ) 2 2 2所以 max = ( ) = ln 3 0，解得： ≥ e3，
所以 2的最小值为e3．
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