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2024-2025 学年河南省新乡市长垣市长垣银河学校高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 1 + i 1 + 4i 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知 , ∈ R，复数 + = 2 1+ ，则 + =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
3 1 1.在 中， = 2， = 3，cos = 2，则 2 =( )
A. 3 B. 3 C. 32 D.
3
2
4.如图，已知等腰直角三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图， ′ ′ = ′ ′，斜边 ′ ′ = 2，则这
个平面图形的面积是( )
A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 22
5. π中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 3, = 2, = 3，则 =( )
A. π B. 3π C. π D. π 3π4 4 6 4或 4
→ →
6.已知向量 = ( ,6)， = ( 1,3)，且 /\ !/ ，则 =( )
A. 18 B. 2 C. 18 D. 2
7.若 = (1, )， = ( 1,1)，且 ⊥ ( + )，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 1 或 0 D. 1 或 1
8.已知两个单位向量 ， 满足 2 + = 7，则 ， 的夹角为( )
A. π B. π π 2π6 4 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 + i，则下列说法正确的是( )
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A. 的虚部是 i B. 的共轭复数是 1 i
C. = i D. =
2
10.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，则下列结论正确的是( )
A.若 = 45 , = 2, = 3，则 有两解
B.若 2 + 2 < 2，则 是钝角三角形
C.若 为锐角三角形，则 sin > cos
D.若| 1| = 2，则 1 3i 的最小值为 6
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别是棱 1, 1 1, 1 1的中点，则( )
A. 平面 1 B. 平面 1
C.点 1在平面 1内 D.点 在平面 1内
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (0,1)， = ( 1, 2)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ．
13 +i.若复数1+i ( ∈ )是纯虚数，则 = ．
14.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上 下底面周长分别为 36cm，28cm 的正
四棱台，若棱台的高为 3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 cm3．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 4， = 8， 与 = 2π的夹角 3 ．
(1)求 2 ；
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(2)若 + 2 与 3 + 共线，求 的值．
16.(本小题 15 分)
若复数 满足(1 ) = 3 + ，其中 i 为虚数单位，其共轭复数为 ．
(1)求复数 和| |；
(2)若 = + ，( , ∈ R)，求实数 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 cos + cos = 2cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 4 3, = 3 3，求 的周长和外接圆的面积；
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ⊥平面 ， , 分别是棱 , 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)证明： //平面 ．
19.(本小题 17 分)
如图所示，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，且 1 = | | = 2| | = 4．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1；
(2)若 是 1的中点，求三棱锥 1的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 25 ,
4
5
13. 1
14.193
→ →
15. → →【详解】(1) ∵ = cos = 32cos 2π3 = 16，
2 2 2∴ 2 = 2 = 4 + 4 = 16 4 × ( 16) + 4 × 64 = 336 = 4 21

(2) ∵ + 2 与 3 + 共线，

∴存在唯一实数 ，使得 + 2 = (3 + )

即( 3 ) + (2 ) = 0，
→ → 3 = 0
又∵ 与 不共线，∴ 2 = 0 ,
解得 =± 6
16. (1) (1 i) = 3 + i = 3+i = (3+i)(1+i) 2+4i【详解】 由 ，得 = = 1+ 2i；| | = 12+221 i (1 i)(1+i) 2 = 5．
(2)由(1)知， = 1 2i，则 = (1 + 2i)(1 2i) = 5，
由 = + i，得 + i = 5，
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所以 = 5, = 0．
17. (1) cos + cos = sin cos + sin cos = sin 【详解】 由 2cos ，由正弦定理得 2cos ，
sin( + ) = sin sin 1从而有 2cos sin = 2cos ，sin ≠ 0，则 cos = 2，
π
由 0 < < π = 3；
(2)因为 = 1 1 32 sin = 2 2 = 4 3，所以 = 16，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos ，
即 27 = ( + )2 3 × 16，解得 + = 5 3，
所以周长为 + + = 3 3 + 5 3 = 8 3，
3 3
设外接圆半径为 ，由 2 = sin = sinπ = 6，得 = 3，3
所以外接圆面积π 2 = 32π = 9π．
18.【详解】(1)连接 , 交于点 ，由四边形 是菱形得 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)连接 , ，
因为四边形 是菱形，所以点 为 , 中点，
又 , 分别是棱 , 的中点，
所以 // , // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，同理可得 //平面 ，
因为 , 平面 ，且 ∩ = ，
所以平面 //平面 ，又 平面 ，
所以 //平面 ．
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19.【详解】(1)证明：因为三棱柱 1 1 1是直三棱柱，
所以 1 ⊥平面 ．
因为 平面 ，
所以 1 ⊥ ．
因为 ⊥ , ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1．
又因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥平面 1 1．
(2)由(1)知， ⊥平面 1 1，
所以 是三棱锥 1的底面 1上的高．
因为 1 = | | = 2| | = 4，
所以 1 = 1 = 4, | | = 2．
因为 是 1的中点，
1 1
所以 1 = 4 1 = 4 × 4 × 4 = 4．
因为三棱锥 1的体积等于三棱锥 1的体积，
1 1 8
所以三棱锥 1的体积 = 3 1 | | = 3 × 4 × 2 = 3．
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