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2024-2025 学年江苏省西安交通大学苏州附属中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知向量 ， 满足 = = = 1，则 + =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2 π 1.若 cos 6 = 3，则 sin 2 +
π
6 =( )
A. 79 B.
7 4 2 4 2
9 C. 9 D. 9
3 π.已知 中， 为 的中点，且 = 4, + = , ∠ = ，则向量 在向量 6 上的
投影向量为( )
A. 1 4 B.
1 C. 1 3 2 D.
4.在 中， 为锐角，若 sin = 3 55，cos = 13，则 cos =( )
A. 16 B. 56 56 16 3365 65 C. 65或65 D. 65
5 .在 中，若 cos cos + = 0，则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 的部分图象如图所示，下列说法不．正．确．的是( )
A. = 2， = π3 B.
5π
函数 ( )的图象关于直线 = 12对称
C. ( ) 2π 5 函数 的图象关于 3 , 0 对称 D.函数 ( )在 12 , 12 上单调递增
7.函数 ( ) = 2cos + π3 2( > 0)，若 = ( )在 0, π 上有且只有 5 个零点，则实数 的取值范围
为( )
A. 6512 ,
71
12 B.
65
12 ,
71 C. 47 65 47 6512 12 , 12 D. 12 , 12
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8.在三角形 中，已知 + = 0，sin = 13， 是 的中点，三角形 的面积为 6 2，则
的长为( )
A. 2192 B.
51
2 C. 219 D. 51
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.下列说法正确的是( )
2
A. 中， 为 的中点，则 =
2
B.向量 = (1,2)， = (2,4)可以作为平面向量的一组基底
C.若非零向量 + 与 满足 = 0，则 为等腰三角形
D.已知点 (1,5)， (4, 7)，点 是线段 的三等分点，则点 的坐标可以为(2, 1)
10.在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，下列叙述正确的是( )
A. 若cos = cos ，则 为等腰三角形
B.已知 = 2， = 60° +2 4 3，则sin +2sin = 3
C.若 > ，则 sin > sin
D.若 sin : sin : sin = 2: 3: 4，则 为锐角三角形
11.如图，一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 1.5 米.设
筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位：米)(在水面下则 为负数)，若以盛水筒 刚浮出水面时开始
计算时间，则 与时间 (单位：秒)之间的关系为 = sin( + ) + > 0, > 0, π2 < <
π
2 ，则下列
说法正确的是( )
A. = 3
B. = π6
C. 40盛水筒出水后至少经过 3秒就可到达最低点
D.盛水筒 40在转动一圈的过程中， 在水中的时间为 3秒
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三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， = 60°， = 2， = ，若三角形有两解，则实数 的取
值范围是 ．
13 π.把函数 ( ) = 3sin + cos 0 < < 2π 的图象向左平移6个单位长度，得到的函数是奇函数，则
的值为 ，若函数 ( )在区间[0, ]上存在最大值 2，则实数 的取值范围为 ．
14.记 的三个内角 , , ，且 = 4， = 6，若 是 的外心， 是角 的平分线， 在线段
上，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量 ， 满足： = 2， = 3， 2 + 2 = 2．
(1)求 与 的夹角 的余弦值；
(2)若 + 2 ⊥ ，求实数 的值．
16.已知在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且 cos( ) cos( + ) = 2 3 sin cos ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 = 2，求 面积的取值范围．
17.如图，一个直角走廊的宽分别为 ， ，一铁棒与廊壁成 角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：
(1)铁棒长度 (用含 的表达式表示)；
(2)当 = = 2m 时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．
18.在 中，已知角 , , 的对边分别为 , , , 为边 上一点．
(1)若 cos = 3 cos , 2 2 = ，求 ；
(2)若∠ = 2π3 , 平分∠ , = 2 3，求 的取值范围．
19.已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )．
(1)设 ( ) = ( ) + π3 ， ( )为偶函数，若存在 ∈ 0,
π
2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，求实数
的取值范围；
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(2) π π π π已知函数 ( )的图象过点 6 , 1 ，设 ( ) = cos
2 + 2 sin ，若对任意的 1 ∈ 2 , 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，
使 1 < 2 + 3 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2, 4 33
13. π5； ≥
15
14.12
2
15.【详解】(1)由题可得 2 + 2 = 2 2 + 3 2 = 2，
因为 = 2， = 3，代入可得 = 4，
cos , = 2 = 3，所以 与
2的夹角 的余弦值 ．
3
(2)因为 + 2 ⊥ ，所以 + 2 = 0，
2
化简可得 2 + 2 2 2 = 0，
将 = 2， = 3， = 4 代入可得 2 2 + 7 4 = 0 1，解得 = 2或 4．
16.【详解】(1)因为 cos( ) cos( + ) = 2 3 sin cos ，
所以 cos cos + sin sin cos cos sin sin = 2 3 sin cos ，
即 sin sin = 3 sin cos ．
由正弦定理，得 sin sin sin = 3sin sin cos ，
易知 sin > 0, sin > 0，所以 sin = 3cos ，所以 tan = 3．
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π
因为 ∈ 0, π ，所以 = 3．
(2)由题设及(1) 1可知， 的面积 = 2 sin =
3
2 ，
2sin 2π
∵ = π3 , ∴ + =
2π 2π 3 3
3 , ∴ = 3 , ∴ = sin = tan + 1．
∵△ 为锐角三角形，
0 < < π
∴ 2 π，解得 < < π，
0 < 2π < π 6 23 2
∴ tan > 3 , ∴ 0 < 13 tan < 3, ∴ 1 <
3
tan + 1 < 4, ∴ 1 < < 4，
又∵ 1 = 2 sin =
3
2 ，
∴ 3 ∈ 2 , 2 3 ．
17.【详解】(1)作出示意图，铁棒 = ，∠ = ∠ = ， = , =
在 中， = sin = sin ，
在 中， = cos = cos ，
所以 = = + = + sin cos , ∈ 0, 2
(2)当 = = 2m 时，
2 2 sin + cos sin + cos 2
= sin + cos = sin + cos = 2 sin cos = 2 sin2 cos2
1+ sin2 1 1
= 4 sin22 = 4 sin22 + sin2
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1
令 = sin2 ，因为 ∈ 0,
2 ，2 ∈ (0, )，
所以 sin2 ∈ (0,1], ≥ 1,
= 4 1 1
2
所以 + = 4 2sin22 sin2 + = 4 +
1 12 4, ≥ 1，且在[1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1 时，即 = 4时， 的最小值为 4 2，
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为 4 2m．
18.【详解】(1)由 cos = 3 cos sin cos = 3sin cos ，即 tan = 3tan ．
又 2 2 = ，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 2 cos = sin 2sin cos = sin ．
即 sin( + ) 2sin cos = sin ，展开 sin cos + cos sin 2sin cos = sin ，
即 sin cos cos sin = sin ，所以 sin( ) = sin ，所以 = 或 = π(舍去)，
结合 tan = 3tan tan2 = 3tan 2tan ，则 ，所以1 tan2 = 3tan ，
因为 ∈ 0, π ，tan ≠ 0，解得 tan = 3 π3 ，所以 = 6．
(2) 2π π因为∠ = 3 , 平分∠ ，所以∠ = ∠ = 3．
1 2π 1 π 1 π由 = + ，可得2 sin 3 = 2 sin 3 + 2 sin 3，
即 = ( + ) ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 2π = 2 + 23 + = ( + )
2 , = 2 3，
2
则 12 = ( + )2 . + 根据基本不等式 ≤ 2 ，
2 2
设 + = ( > 0), 12 = 2 ≥ 2 3 4 = 4 ，解得 ≤ 4，
2
又 + > 2 3( ) = = ( + ) 12 12三角形三边关系 ， + + = ( + ) + ，
令 = 12 , ∈ 2 3, 4
12
，函数 = 在 2 3, 4 上单调递增，所以 ∈ (0,1]．
19. π π【详解】(1)由 ( )为偶函数，则 = 2 + π， ∈ Z，又 0 < < ，则 = 2，
所以 ( ) = cos2 ，则 ( ) = cos2 cos2( + π3 ) = cos2 cos2 cos
2π
3 + sin2 sin
2π
3
= 32 cos2 +
3
2 sin2 = 3sin(2 +
π
3 )，
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π
存在 ∈ 0, 2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，则 2 +
π ∈ π3 3 ,
4π
3 ，
所以 ( ) < 2 在 2 + π ∈ π , 4π ( ) ∈ [ 33 3 3 上能成立，而 2 , 3]，
所以 2 > 32 <
7
2；
(2) π π由题设 6 = sin 3 + = 1，且 0 < <
π
，则 = 6，
所以 ( ) = sin 2 + π6 ，
π π π 7π而 2 ∈ 0, 2 ，则 2 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，所以 2 ∈ [
1
2 , 1]，
π π π
对任意的 1 ∈ 2 , 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，使 1 < 2 + 3 成立，
所以 1 max < 2 max + 3 = 4，即(cos2 1 + 2 sin 1)max = (1 sin2 1 + 2 sin 1)max < 4，
令 = sin 1 ∈ [ 1,1]，则 ( ) = 2 + 2 + 1 = ( )2 + 1 + 2，故 ( )max < 4，
当 ≥ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递增，此时 2 < 4，可得 1 ≤ < 2；
当 ≤ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递减，此时 2 < 4，可得 2 < ≤ 1；
当 1 < < 1，则 ( )在[ 1, )上单调递增，在( , 1]上单调递减，此时 1 + 2 < 4，可得 1 < < 1；
综上， 2 < < 2．
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