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2024-2025 学年华中师范大学龙岗附属中学高二下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量 服从正态分布 4, 2 ，记 ( ≤ 2) = 0.4，则 (2 < < 6) =( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6
2 8.已知 = ∈ ∈ ，则集合 的真子集的个数是( )
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
3.“数列 是等差数列”是“数列 + +1 是等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知曲线 = ln 的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A. B. C. 1 D.
1

5.已知等比数列 的前 项和 = 3 +2 ，则 =( )
A. 39 B. 2 × 310 C. 310 D. 2 × 39
6.已知数列 满足 +1 = + 1 + 2 ， 10 = 130，则 1 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.包括甲、乙、丙在内的 6 人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为( )
A. 180 B. 246 C. 168 D. 192
8.从 1，2，3，…，15 中，甲、乙两人各取一数(不重复)，已知甲取到的数是 5 的倍数，则甲数大于乙数
的概率是( )
A. 9 114 B. 14 C.
1 D. 15 15
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为研究光照时长 (小时)和种子发芽数量 (颗)之间的关系，某课题研究小组采集了 10 组数据，绘制散点
图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 后，下列说法正确的是( )
A.相关系数 变小
B.经验回归方程斜率变大
C.残差平方和变小
D.决定系数 2变小
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10.若(1 + 2 )2025 = + + 2 + + 20250 1 2 2025 ，则下列正确的是( )
A. 0 = 2025
B. 0 + 1 + + = 320252025
C. 0 1 + 2 3 + 2025 = 1
D. 1 2 2 + 3 3 + 2025 2025 = 4050
11.若 ∈ Z，则函数 ( ) = e 的函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 ～ (10,0.2)，则 (2 + 1) = ．
13.若函数 ( ) = 2 2 + 3( 为常数， 是自然对数的底)恰有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
14.已知数列 满足 +1 + ( 1) = 2 1， 为其前 项和，则 60 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一市级重点中学选中了 6 名男教师和 4 名女教师共 10 名教师，其中 1 名主任(男)和 1 名副主任(女)，现要
组成 6 人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)6 人支教小组中，有 3 名男教师和 3 名女教师；
(2)6 人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
(3)6 人支教小组中，至少有 1 名主任参加；
(4)6 人支教小组中既有主任，又有女教师．
16.(本小题 15 分)
某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男 女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随
机抽取了 100 份有效问卷，统计数据如下表：
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购买意愿
性别 合计
有愿意 无愿意
男性 22 18 40
女性 48 12 60
合计 70 30 100
(1)试依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？
(2)企业随机致电 8 位无愿意购买新能源车的车主(其中 3 名男性，5 名女性)，邀请其参加新能源车免费试
驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为 ，求 的分布列及数学期望．
2 ( )
2
附: = ( + )( + )( + )( + ) , = + + + .
下表给出了 2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

0.1 0.05 0.01 0.005 0.001

2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，
2
比赛进行到有一队比另一队多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 = 3．
(1)第二局比赛结束时比赛停止的概率；
(2)设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望．
18.(本小题 17 分)
2 +3
已知数列 的前 项和为 ，且 1 = 1, +1 = ．
(1) 证明： 为等比数列
(2)求数列 的通项公式
(3)求数列 的前 项和
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)当 = 1 时，讨论 ( )的单调性：
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(2)当 > 1 时， ( ) ≤ 1 恒成立，求 的取值范围;
(3)设 ∈ ，证明：ln( + 1) < 1 + 12 +
1
3+ . . . +
1


2( +1)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6.4
13.(0, 1 )
14.1830
15.【详解】(1)由题意得从 6 名男教师里选 3 名有C36 = 20 种选派方法，
从 4 名女教师里选 3 名有C34 = 4 种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有C36C34 = 80 种选派方法．
(2)由题意得从 10 名教师里选 6 名有C610 = 210 种选派方法，
而只有 4 名女教师，则 6 名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有C66 = 1 种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为C6 C610 6 = 210 1 = 209 种.
(3)由题意得从 10 名教师里选 6 名有C610 = 210 种选派方法，
从不是主任的 8 名教师里选 6 名有C68 = 28 种选派方法，
则至少有 1 名主任参加有C6 610 C8 = 210 28 = 182 种选派方法．
(4)由已知得从 10 名教师里选 6 名有C610 = 210 种选派方法，
从不是主任的 8 名教师里选 6 名有C68 = 28 种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有C66 = 1 种选派方法，
则既有主任，又有女教师有 210 28 1 = 181 种选派方法．
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16.【详解】(1)零假设为 0：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
2 100(48 × 18 22 × 12)
2 50
= 60 × 40 × 70 × 30 = 7 ≈ 7.143 > 6.635 = 0.01
依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，我们推断 0不成立，
认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于 0.01．
(2) 的可能取值为 1,2,3,4，
C15C3 1 C23 5C2 3 ( = 1) = 34 = 14 , ( = 2) = = ,C8 C48 7
C3C1 3 C4C0 1
( = 3) = 5 3 = , ( = 4) = 5 3 =
C48 7 C48 14
所以 的分布列为：

1 2 3 4
1 3 3 1
14 7 7 14
所以 ( ) = 1 × 1 3 3 1 514 + 2 × 7+ 3 × 7 + 4 × 14 = 2．
5 5
或根据超几何分布的数学期望有 ( ) = 4 × 8 = 2．
17.【详解】(1)依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．
2 2 2 2 5
所以有 3 + 1 3 = 9．
5
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率9．
(2)依题意知， 的所有可能值为 2，4，6．
= 2 5表示当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束 ( = 2) = 9，
= 4 5 5 20表示前二局的比分为 1 ∶ 1，接下来有一队连胜 2 局， ( = 4) = 1 9 × 9 = 81，
= 6 5 5 16表示前二局的比分为 1 ∶ 1 且前 4 局的比分为 2 ∶ 2， ( = 6) = 1 9 × 1 9 = 81．
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所以随机变量 的分布列为：
2 4 6
5 20 16
9 81 81
所以 ( ) = 2 × 59+ 4 ×
20 16 266
81 + 6 × 81 = 81
18. 2 +3 2 +3 3 +3【详解】(1)由题意可得 +1 = ，即 +1 = + = ，
两边同时除以 + 1 可得 +1 = 3 × +1 ，
又 1 = 1,
1
= 1，1

所以 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列．
(2) (1) 由 得 = 1 × 3
1 = 3 1 = × 3 1，
当 ≥ 2 时， = 1 1 = × 3 ( 1) × 3 2，
化简可得 = (2 + 1) × 3 2，
当 = 1 时，代入 11 = (2 + 1) × 3 = 1 也成立，
所以 = (2 + 1) × 3 2．
(3)因为 = × 3 1 ，
则 = 1 × 30 + 2 × 31 + 3 × 32 + + × 3 1，
3 1 = 1 × 3 + 2 × 32 + 3 × 33 + + × 3 ，

两式作差可得 2 1 2 = 1 + 3 + 3 + + 3 1 × 3 =
1× 1 3 3 1
1 3 × 3 = 2 – × 3 ，
(2 1)×3 +1
所以 = 4 ．
19.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = ln ， ′( ) = ln ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以， ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
(2) ′( ) = 1ln + 1 1， ′(1) = 0，
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令 ( ) = ′( ) = 1ln + 1 1，
′( ) = ( 1) 2ln + (2 1) 2，
′(1) = 2 1
①当 2 1 > 0 > 1，即 2时，因为
′(1) > 0，所以存在 > 1，
使得当 ∈ 1, 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在 1, 上单调递增，即 ′( )在 1, 上单调递增，
因为 ′(1) = 0，所以 ( )在 1, 上单调递增，
则 ( ) > (1) = 1 与 ( ) ≤ 1 矛盾，故舍去，
1
②当 2 1 ≤ 0，即 ≤ 2时，此时 ( ) =
ln ≤ ln ，
1
下面证明 ln ≤ 1 恒成立即可，即证 ln + ≤ 0，
1 2 1 2
令 ( ) = 2ln + ， ′ ( ) = 1 2 = 1
1
≤ 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，所以 ( ) ≤ (1) = 0，
所以 2ln + 1 ≤ 0
1
，即 ln + ≤ 0
1
综上可得， 的取值范围为( ∞, 2 ]．
(3)由(2) 1知当 = 2时，当 ≥ 1 时， ln ≤ 1，
即 2ln + 1 ≤ 0，令 =
+1 +1 +1
，则 2ln + +1 < 0，
+1 1 1
化简可得，2ln < + +1，
所以 2 ln2 + ln 3+ ln 4 + + ln +1 < 1 + 1 1 1 1 1 1 12 3 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + + + +1 ，
即 2ln( + 1) < 1 + 2 1+ 1 1 1 1 12 3+ 4 + + + +1 = 2 1 + 2 +
1
3 + +
1
+1，
所以 ln( + 1) < 1 + 1 + 12 3+ +
1


2( +1)．
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