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2024-2025 学年广东省肇庆市封开县南丰中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 0 3 4 15.数列 ，2， ， 2，…的一个通项公式为( )
+1 2A. B. 1 C. ( 1) ( +1)2 2 2 D. 2
2.在等比数列 中， 1 = 32，公比 =
1
2，则 6 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 12
3.已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 11 = 3, 2 = 39，则 11 =( )
A. 160 B. 253 C. 180 D. 190
4.等差数列 中， 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 90，求 1 + 7 =( )
A. 45 B. 15 C. 18 D. 36
5.已知函数 ( ) = 2ln + 1 ′(1) ，则函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线斜率为( )
A. 12 B.
1
2 C.
1
2 3 D. 3
1
2
6.已知函数 = ( )的图象是下列四个图象之一，且其导函数 = ′( )的图象如下图所示，则该函数的大
致图象是( )
A. B.
C. D.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问
各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得
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之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量
单位)，这个问题中戊所得为( )
A. 45钱 B.
3 3 2
4钱 C. 5钱 D. 3钱
8.已知函数 ( ) = e + 3 + ( 3) + 1 在区间(0,1)上有最小值，则实数 的取值范围为( )
A. e, 2 B. e, 1 e C. (1,2) D. ∞,1 e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 3 + 1，则过点(1, 1)且与曲线 = ( )相切的直线方程可以为( )
A. 2 + 1 = 0 B. = 1 C. 9 + 4 5 = 0 D. 3 + 2 1 = 0
10 4.已知正项等比数列 的公比为 ，若 3 + 4 = 4 1 + 2 ，且 3 = 3，则( )
A. = 3 B. 5 =
16
3
C. 10243 是数列 中的项 D. 1, 2 + 3, 4成等差数列
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域都为 ，对于任意的 , ∈ ，都有 ( ) + ( ) =
2 + 2 2 成立，则下列说法正确的是( )．
A. (0) = 1
B. 1 1若 (1) = 2，则 (2) = 2
C. ′( )为偶函数
D.若 (1) = 0，则 11 + 15 + 192 2 2 + +
2019
2 +
2023
2 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.有 4 名男生、4 名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数． ．
13.函数 ( ) = (2 2 3 )e +1的极小值是 ．
14.设 为等差数列 的前 项和，若公差 < 0，且 10 = 20，则当 取最大值时， 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)已知等差数列 的通项公式为 = 5 2 ，求 公差和首项；
(2)求等差数列 8，5，2…的第 20 项及前 项和．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + 图象在点 0, (0) 处切线斜率为 4，且 = 2 时， = ( )有极值．
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(1)求 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )极值．
17.(本小题 15 分)
在递增的等比数列 中， 2 + 3 + 4 = 39，且 2 3 3 是 2和 4的等差中项．
(1)求 的通项公式；
(2)若 1 = + log3 ,求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
函数 ( ) = ( + 1)e ．
(1)求函数在 2, ( 2) 处的切线方程;
(2)求出方程 ( ) = ∈ R 的解的个数．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 22 + ln ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( ) = ( ) 4 + 5 恰有两个极值点 1、 2.求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2880
13. e2
14.15
15.(1)解：因为 为等差数列，由等差数列的概念可知，
1 = 5 2 × 1 = 3， = +1 = 5 2( + 1) (5 2 ) = 2．
(2)解：已知该数列为等差数列，则有
1 = 8， = 5 8 = 3，
故通项公式为 = 8 3( 1) = 11 3 ， 20 = 11 60 = 49，
前 项和 = +
( 1)
1 2 = 8
3 ( 1) 3
2 = 2
2 + 192 ．
16.解：(1)由题意可得， ′( ) = 3 2 + 2 + ．
′(0) = = 4 = 2,
由 ，解之得
′( 2) = 12 4 + = 0 = 4.
经检验得 = 2 时， = ( )有极大值．
所以 ( ) = 3 + 2 2 4 ．
(2)由(1)知， ′( ) = 3 2 + 4 4 = ( + 2)(3 2)．
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令 ′( ) = 0，得 1 = 2, 2 =
2
3，
′( ), ( )的值随 的变化情况如下表：
2
( ∞, 2
2
,
2) 2 2,3 3 3+∞
′( ) + +
0 0
( )
单调递增极大值单调递减极小值 单调递增
40

函数值 8 27
由表可知 ( ) 40的极大值为 8，极小值为 27．
17.解：(1) ∵ 2 3 3 是 2和 4的等差中项，∴ 2 + 4 = 2 2 3 3 ，
∵ 2 + 3 + 4 = 39，∴ 2 2 3 3 + 3 = 39，解得 3 = 9，故 2 + 4 = 30．
9
设等比数列 的公比为 ，则 + 9 = 30，解得 = 3 或 =
1
3 (舍)，
∴ 1 =
3 9
2 = 32 = 1，
∴ = 1 × 3 1 = 3 1．
1
(2)由(1)得 1 1 1 1 = + log 3 = 3 1 + log33 = 3 + 1，
1 0 1 1 1 2 1 1
∴ = 1 + 2 + 3 + + = 3 + 0 + 3 + 1 + 3 + 2 + + 3 + 1
1 1 2 1 1
= 1 + 3+ 3 + + 3 + (0 + 1 + 2 + + 1)

1 1
= 3 + ( 1)
2
= +3 1
1 1 2 2 2 3 1
．
3
18.解：(1) ( )定义域为：R， ( 2) = e 2
∵ ′( ) = e + ( + 1)e = ( + 2)e
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∴ = ′( 2) = 0
∴切线方程为： = e 2．
(2)方程解的个数等价于 = ( )于 = 的交点个数．
′( ) = ( + 2)e > 0 > 2. ′( ) = ( + 2)e < 0 < 2.
所以 ( )在( ∞, 2)上递减，在( 2, + ∞)上递增，
( )min = ( 2) =
1
2且 < 2 时， ( ) < 0，
作出 ( )与 = 的图象，
1
由图可知当 < 2时，方程 ( ) = ∈ R 的解为 0 个
当 = 1 2或 ≥ 0 时，方程 ( ) = ∈ R 的解为 1 个
1
当 2 < < 0 时，方程 ( ) = ∈ R 的解为 2 个
2
19.解：(1) ( ) = 1由 2
2 + ln + 且 > 0，求导可得 ′( ) = + = ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时，令 ′( ) = 0， = ，
当 0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
则函数 ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，
综上可得，
当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，函数 ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
2
(2) 1由 ( ) = 22 + ln 4 + 5，求导可得
′( ) = + 4 + 4 = ，
由函数 ( )在定义域上存在两个极值点 1, 2，则方程 ′( ) = 0 存在两个不相等的正根，
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= ( 4)2 4 > 0
令 ( ) = 2 4 + ，所以 1 2 = > 0，解得 0 < < 4，
1 + 2 = 4
即 的取值范围为(0,4)．
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