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2024-2025 学年上海大学附属嘉定高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.跳水比赛中共有 7 名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最
低分，得到 5 个有效评分，则与 7 个原始评分(不全相同)相比，一定不改变的是( )
A.中位数 B.平均数 C.极差 D.方差
2.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ， , // ，则 /\ !/
C.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
D.若 ， ， // , // ，则 /\ !/
3.圆 : 2 + 21 4 5 = 0 与圆 2: 2 + 2 + 2 + 2 = 1 的位置关系不可能为( )
A.相切 B.相交 C.内含 D.外离
4.若曲线 2 = | | 1 与直线 = + 2 没有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. ∞, 2 5 2+ 52 ∪ 2 , + ∞
B. ∞, 2 5 ∪ 2+ 52 2 , + ∞
C. ∞, 2 52 ∪
2+ 5
2 , + ∞
D. 2 5 2+ 52 , 2
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

5.+∞ 2 =1 5 = ．
6.直线 3 + + 1 = 0 的倾斜角为 ．
7.准线为直线 = 4,且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 ．
8.已知事件 与事件 独立，且 ( ) = 0.6， ( ) = 0.2，则 ( ∩ ) = ．
9.有一组数据如下：26,23,25,16,34,32,34,40，这组数据的第 75 百分位数为 ．
10.已知数列 是等比数列，其前 项和为 ，若 4 = 3 2，则公比 = ．
11 ( + 1.若二项式 ) 展开式中各项系数的和为 64，则该展开式中常数项为 ．
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12.有 9 名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法
有 种．
2
13.若圆心为(3,0) 的圆与双曲线 24 = 1 的渐近线相切，则该圆的标准方程为 ．
14.已知直线 经过点 (4,2)，且与 轴、 轴分别交于点 、点 ，当| | | |取最小值时，直线 的方程为 ．
15.如图，圆锥型容器内盛有水，水深 2cm，水面直径 3cm 放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁
球的体积为 cm．
16.正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 是棱上一点，且| | 1 = 2，则符合要求的点 的个数
为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知直线 1: + + 6 = 0， 2: ( 2) + 3 + 2 = 0．
(1)若 1 ⊥ 2，求 的值；
(2)若 1// 2，求 1与 2间的距离．
18.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ⊥平面 ，且 = 2，求点 到平面 的距离．
19.(本小题 14 分)
已知等差数列 满足 2 = 10, 10 4 = 2 7．
(1)求数列 的通项公式；
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(2)设数列 的前 项和为 ，求 的最小值及取最小值时的 值.
20.(本小题 14 分)
某公司的业务部有 100 人，技术部有 50 人，后勤部有 150 人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行
公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下：
(满分 10 分)
6.2 6.5 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
8.0 8.1 8.2 8.3 8.5 8.8 9.1 9.1 9.2 9.3
(1)请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值(结果保留两位有效数字)
(2)若技术部抽样数据的均值为 6.5，方差为 0.32，后勤部抽样数据的均值为 9.1，方差为 1.25，求整体抽样
数据的均值 和方差 2(结果保留两位有效数字)
(3)结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议．
21.(本小题 14 分)
(0,1) 3已知焦点在 轴上的椭圆，上顶点为 ，离心率为 2 ，点 , , 是椭圆上不同的三个点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，且 1 + 2 = ( ≠ 0)，求证：直线 过定点．
(3)若 + + = 0(0 < < 1)，求 的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.23
6.120°
7. 2 = 16
8.0.12
9.34
10.± 2
11.15
12.8460
13.( 3)2 + 2 = 95
14. = 2 或 = + 6，
15. 910π
16.3
17.【详解】(1)因为 1 ⊥ 2，则有( 2) + 3 = 0 =
1
，解得 2，
1
所以 的值为2．
(2)当 1// 2或重合时，3 ( 2) = 0， = 3 或 = 1，
当 = 3 时， 1: + 3 + 6 = 0, 2: + 3 + 6 = 0，此时两直线重合，不符合题意，
= 1 2当 时， 1: + 6 = 0， 2: 3 + 3 2 = 0，即 + 3 = 0，此时两直线平行，满足条件，
|6 2| 8 2
于是得 3 = ，
12+( 1)2 3
8 2
所以 1与 2间的距离为 3 ．
18.【详解】(1)证明：取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 , , ，
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则 // , = 12 ， // , =
1
2 ，
又底面 是正方形，即 // , = ，
则 // , = ，即四边形 为平行四边形，
则 // ，又 在平面 外， 平面 ，
故 //平面 .
(2)设点 到平面 的距离为 ，
1
2 = = = = 2 = 2 2由 得 = 1 2× 2 2 2× 5 1 32 2
19.【详解】(1)设等差数列 的公差为 ，
+ = 10 = 13
则由题意可得 1 1 1 + 9 4 = 2 1 + 6
，解得 = 3 ,
则 = 13 + 3( 1) = 3 16，
故数列 的通项公式为 = 3 16, ∈ N ．
(2)当 ≤ 5 时， < 0；当 ≥ 6 时， > 0，
= 5 5 + 则当 时， 取最小值，最小值为 5 = 1 52 = 5 3 = 5 × ( 7) = 35．
20.【详解】(1)茎叶图如图所示：
极差为 9.3 6.2 = 3.1，
1
平均值为 0 = 20 (6.2 + 6.5 + 7.3 + 7.4 + 7.5 × 2 + 7.6 + 7.7 + 7.8
+7.9 + 8.0 + 8.1 + 8.2 + 8.3 + 8.5 + 8.8 + 9.1 × 2 + 9.2 + 9.3) = 8.0
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方差为： 2 = 1 2 220 [( 1.8) + ( 1.5) + ( 0.7)
2 + ( 0.6)2 + ( 0.5)2 × 2+ ( 0.4)2 + ( 0.3)2
+( 0.2)2 + ( 0.1)2 + 0 + 0.12 + 0.22 + 0.32 + 0.52 + 0.82 + 1.12 × 2 + 1.22 + 1.32] = 0.686
故标准差为： = 0.686 ≈ 0.83
(2) = 100×8+50×6.5+150×9.1整体抽样数据的均值 300 = 8.3，
整体抽样数据的方差 2 = 100 0.686 + (8 8.3)2 + 50 0.32 + (6.5 8.3)2 + 150 1.25 + (9.1 8.3)2300 300 300 ≈
1.8
(3)公司三个部门对满意度存在较大的差异，技术部门的满意度较低，方差较小，
后勤部门的满意度较高，但方差较大，根据这些情况，公司福利可向技术部门有所倾斜．
2 2
21.【详解】(1) 设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
由题可知， = 1 3，又离心率为 2 ，
2 3
所以 1 2 2 = 2 = 4，
2
所以椭圆方程为 + 24 = 1．
(2)设 1, 1 , 2 2 ，
当直线 斜率不存在时，设直线 方程为 = ∈ ( 2,2)，
2 + 2 2由 4 = 1得， =±
4
= 2
，
4 2 4 2
1 1
1 + 2 = 2 + 2 =
2 = = 2 ；
当 斜率存在时，设 方程为 = + ，
2 2
由 4 + = 1得， 1 + 4 2 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
= +
2
则 1 + =
8 , = 4 42 1+4 2 1 2 1+4 2，
+ = 1 1 + 2 1 = 2 1 1 + 1 2 1 = 2 1 2+( 1) 1+ 则 21 2 1 2 1 2 1 2
= 2 8 +14( +1) = = 2 ，
所以直线 方程为 = + = +12 + ( + 1) 1 = ( + 1)

2 + 1 1，
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2
所以直线过点 , 1 ，
综上所述，直线 2过定点 , 1 ．
(3)设 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 ，
①当直线 斜率不存在，此时点 , 关于 轴对称，
又点 , , 是椭圆上不同的三个点，所以点 必在长轴顶点处，
不妨设 , 1 , , 2 , (2,0)，且 1 + 2 = 0，
由 + + = 0得，2 + 2 = 0，即 = ，
2 2
将 = 代入 4 +
2 = 1，得 =± 4 2 ，则| | = 4
2，
1 2+
点 到 的距离为 2 = 2 + ，则 2 = 2 × 4 × (2 + ) = 2 4
2；
②当直线 斜率存在，如图：
2
由(2) + = 8 = 4 4知，， 1 2 1+4 2， 1 2 1+4 2，
2 2
进而 1 + 2 =
2 4
1+4 2， 1 2 = 1+4 2 ．
由 + + = 0(0 < < 1)得， 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 = 0，
+ +
所以 3 = 1 2 1 2 , 3 = ，
2 2 2
因为点 在椭圆 + 2 = 1 上，所以 1+ 2 1+ 24 + 4 = 4，
整理得 1 2 + 4 21 2 = 2 4，
4 2
代入韦达定理得，4 2 = 2 1 + 4 2 1+ 4 2 = 2 ，
2
线段| | = 1 + 2 1 + 22 4 1 =
4 1+ 2 2
2 1+4 2 4 + 1 ，
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点 到直线 的距离 = + = 1 1+ 2 + 1+ 2
1+ 2 1+ 2
+
| | 1 8 2= +2 1+4 2 + =
| | 1 (2 + )，
1+ 2 1+ 2
2
所以 1 = 2 | | × =
1 × 4 1+ 2 1+4 2 × 4
2 + 1 2 × | | 1 (2 + )
1+ 2
2 2
= 2 × 4 2 1 2+ 24 2 × 2 × | | (2 + ) = 2 4 ，
综上所述， 2+ 的面积为 2 4
2．
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